Esta entrada es continuación de la última publicada aunque ciertamente no había pensado y, por tanto menos aún planeado llevarla a cabo. Ha sido una sorpresa haber llegado a toparme con ese libro. En realidad buscaba novelas sobre Cantor y su aventura matemática cuando, después de bajarme algunas, me tope con ese libro excepcional, enteramente dedicado a la historia de los fundamentos del cálculo desde los inicios de Eudoxo y Euclides, los fundadores del siglo XVII Newton y Leibnitz y centrandose en la fundamentación que, iniciada en el siglo XVIII no llegó a completarse hasta finales del siglo XiX.
Cuando armado con las armas intelectuales que me brindaron en mi adolescencia los libros de Alexander Niklitschek y los matemáticos Rey Pastor y Puig Adamn, que me habían ganado por capacidad de ensoñación haciendo que encontrara en la ciencia lo que antes solo había encontrado en la música; fue seguida, durante mi bachillerato por la experiencia viva de mis inolvidables profesores , los doctores Joaquín Casulleras y Jorge Dou ,que supieron cautivarme con la habilidad, mezcla de rigor y pragmatismo, de su concepto de matemática moderna, centrado en la construcción de los conjuntos de números, natural, entero, racional y real y la geometría que, partiendo de las construcciones euclidianas con regla y compás, llegaba a las estructuras de tranformaciones geométricas, cuando digo, emprendí ya en la universidad mi estudio formal de la matemática confieso que me aburrieron sobre manera los conceptos de integral de Cauchy - Riemann, Stieltjes. y los conceptos de límite rigurosos. Ello hizo que frecuentara mas la facultad de ingeniería industrial,, cercana a la mía de económicas, en busca de textos más centrados en los problemas que en la teoría. Solo los grandes problemas tenían la capacidad de hacerme soñar. La teoría matemática, para mi sorpresa e íntima decepción, me aburrian soberanamente y, lo que es mas grave, no me daban el progreso que buscaba. Era como si, por el contrario, me
hubiesen frenado en seco en mi avance. De aquel "impasse" salí buscando academias donde encontré profesores capaces de hacer vivir la materia pero, por razón misma de su objetivo principal, que aprobasemos la asignatura, se dedicaban en cuerpo y alma a despertar nuestra capacidad de analizar y resolver problemas, pasando en parte, no desde luego totalmente, por encima de los fundamentos, Quiero rendir aquí mi tributo de admiración y reconocimiento al por desgracia prematuramente fallacido Jean Pierre, maravilloso profesor de cálculo y ecuaciones diferenciales (1978) y al profesor. Marull, con quien estudié a fondo y comprendí por fin la econometría en el año 1981. Veinte años después, ya en 2002, lo busqué otra vez para hacer un cursillo del nuevo paradigma que cambió por entero la asignatura por la que tantos de mis compañeros, no llegaron a tener el título de licenciado: Las series temporales, metodología Box-Jenkins. Una pura delicia. Pero se impone volver al tema central, tiempo habrá de comentar mi entrada en la estadística y bioestadística de la mano de admirados profesores (doctor Cuadras Avellana y su maravilloso equipo, mis tutores de doctorado Doctores. Fortiana y Sánchez Pla) capítulo aparte que trataré en próximas entradas.
Volvamos al joven, ya no tan joven, treintaañero, pero aun aturullado estudiante que de día ejercía como director financiero y de noche luchaba por hacerse con conceptos con los que tantos años llevaba inmerso en una maravillosa aventura intelectual que había empezado con tan solo once años.
Yo quería volar y las clases plúmbeas que nos daba un estudiante, con buena voluntad pero pocas tablas, (porque el catedrático, del que no diré nombre, no acudía desde hacía años a dar clase, ni tan siquiera de día) me tenían literalmente con la moral por los suelos. Pese a ello, a fuer de justo, acabo de mirar mis apuntes encuadernados y trabajamos lo nuestro. La demostración de la integral de Cauchy-Riemann tiene nueve folios y es rigurosa, pero aburrida. Así que, igual que una compañera particularmente voluntariosa, que me siguió en eso, me apunté a una academia barcelonesa (La Estudec) en un cursillo de verano, de junio a septiembre. Las clases, de siete a diez, iban seguidas, conforme se acercaban los exámenes, de "courses de force" hasta las dos de la madrugada resolviendo problemas de ecuaciones diferenciales, después de una pausa para cenar en un restaurante cercano. Realmente aprendimos, porque fuimos muy bien enseñados por maestros de verdad, en el mejor sentido de la palabra. que además de saber, sabían enseñar, no sólo matemáticas, también llevarlas tan y tan internalizadas que sería muy dificil no vencer.
DE ZENON DE ELEA A CANTOR.
El cálculo estuvo sin fundamentos sólidos durante muchísimo tiempo a partir de que los fundadores del mismo, Newton y Leibnitz pusieran sus basesen el siglo XVII . Detrás de la formulación rigurosa finalmente culminada en el siglo XIX por Weirstrasse y Cantor, estaba la idea de infinitos e infinitésimos abordada por Zenon de Eleza (siglo V a.C.) en sus aporías y el método de ehaustión desarrollado por Eudoxo y Arquímedes (siglo III a.C.).
El análisis de Aristóteles de dichas aporías en su libro VI de La Física supuso un intervalo de tiempo considerable que condujo a Galileo a escribir sus "Dos Nuevas Ciencias"
Es difícil que logre expresar ni que sea mínimamente la belleza de este libro. Muy difícil comprender correcta, justa y desapasionadamente los gigantes del pensamiento que nos han precedido y sus aportaciones al estudio del infinito.
Un ejemplo, para ilustrarlo: Me viene a la mente el artículo de Ortega y Gasset de 1937 titulado: Bronca en la Física, releido nuevamente después de más de 54 años, muy divertido por cierto, que cuenta como el día ocho de mayo de aquel año se publicó un artículo en la revista Nature en el que el doctor Dingler llamaba "traidores" a la plana mayor de los físicos ingleses (Edington, Milney, Dirac) por pasarse al "aristotelismo" traicionando el espíritu de Galileo y cómo , a su vez, el doctor Milney le respondió con gracia llamándole a él "gitano".
"Desde hace años se publican con progresiva frecuencia libros de cuestiones físicas que pertenecen a un nuevo tipo de producción intelectual. En estos libros se determina la estructura del «universo» y esto se hacea priori, en pura deducción matemática. Partiendo de ciertas hipótesis mínimas a que se da forma de puros axiomas, se constituye un cuerpo de doctrina estrictamente racional, en el cual aparecen las leyes físicas conocidas como teoremas derivados de aquellos axiomas y, lo que es más sorprendente aún, se obtienen, por simple inferencia de la lógica matemática, nuevas leyes. El experimento, la inducción no aparecen por parte alguna" .
Hablar del «universo» y hablar a priori eran, precisamente, las dos cosas que venían haciendo desde siglos los aristotélicos contra los cuales luchó Galileo. En opinión del doctor Dingle el aristotelismo consiste en analizar sin más que la lógica, nuestros conceptos, sacándose el mundo de la cabeza.
En cambio, Galileo cayó en la cuenta de que la naturaleza es independiente del hombre. por eso, si quiere averiguar algo de ella debe observarla y contentarse con lo que descubra.
El doctor Dingler no puede soportar que , Eddington, afirme: «En todo el sistema de las leyes físicas no hay ninguna que no pueda ser inequívocamente deducida de consideraciones epistemológicas. Una inteligencia que no supiese nada de nuestro universo, pero que supiese cuál es el sistema intelectual mediante el cual la mente humana se interpreta a sí misma el contenido de su experiencia sensible, sería capaz dé adquirir todo el conocimiento físico que nosotros hemos adquirido a fuerza de experimentos».
Dingler cree qye "Aristotelismo es «la doctrina según la cual la naturaleza es la manifestación visible de principios generales que la mente humana conoce sin necesidad de percepción sensible».
Pero Ortega objeta que Aristóteles y sus fieles no admiten nada en el intelecto que no haya estado antes en los sentidos. Descartes, pelea a muerte con Aristóteles y el escolasticismo por sensualistas y desde hace trescientos años, se discute eso que el Señor Dingler da como cosa libre de posible error. Desde tiempos de Galileo, se discute si la ciencia es observación o algo más.
Milne defiende el procedimiento que en sus investigaciones ha seguido. La física padece una dualidad irracional. De un lado nos dice qué es lo que hay, construye una realidad pura Luego,, investiga experimentalmente cómo se comporta esa realidad.
Las objeciones de los aristotélicos a Galileo eran por no ajustarse estrictamente a lo observado, es decir, al experimento. En París y en Padua se hacían experimentos cien años antes que en Padua estudiase Galileo.
Eddington, Milme, Wittrow, Wheele, Robertson, extrema vanguardia de la física se les convertía en algo así como filosofía. La respuesta que da Eddingtones «No hay nada en todo el sistema de las leyes físicas que no pueda ser deducido inequívocamente de consideraciones epistemológicas». . Dingler usa literalmente la palabra «traidores». Milne casi llama a Dingler «gitano». .
Dice Milne: «es una cosa sorprendente que la eliminación de todo auxilio empírico, incluyendo todo apoyo en leyes cuantitativas de la física, pueda ser llevada tan lejos como, en efecto, acontece, no obstante la imperfección del estado presente de la teoría».
LAS PARADOJAS (APORÍAS) DE ZENÓN DE ELEA
El argumento básico de Zenón contra la realidad del movimiento se conoce como dicotomía
A) La dicotomía.
En palabras de Aristóteles:
Fís. 1013, 4-16: "El primer argumento es éste. Si existe el movimiento, es necesario que el móvil recorra infinitas magnitudes en un tiempo limitado. Como esto es imposible, el movimiento no existe. Zenón demuestra esta hipótesis a partir de la distancia que recorre el móvil. Como toda distancia es divisible hasta el infinito, es necesario que el móvil alcance primero la mitad de la distancia que debe recorrer, y luego la totalidad. Pero antes de recorrer la mitad del todo, debe recorrer la mitad de ésta; y, previamente, la mitad de esta mitad. Si estas mitades son infinitas, porque es posible obtener la mitad de toda mitad ya obtenida, es imposible recorrer infinitas magnitudes en un tiempo limitado. Para Zenón esto era evidente (Aristóteles evocó antes este argumento, cuando afirmó que es imposible recorrer magnitudes infinitas en un tiempo limitado, así como estar en contacto con la infinitud). Toda magnitud, entonces, tiene infinitas divisiones, y es imposible recorrer una magnitud dada en un tiempo limitado"
Eso es: en esquema lo siguiente:
(1)Para cruzar el intervalo AB primero tiene que cruzar todos los subintervalos , siendo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
(2)Hay una cantidad infinita de tales subintervalos.
(3)Es imposible cruzar una cantidad infinita de subintervalos en una cantidad finita de tiempo.
(4)Por lo tanto, es imposible cruzar AB.
B) Aquiles.
Fís. 1014, 9-1015, 2: El argumento es llamado «Aquiles» porque en él se ocupa de Aquiles, quien, según dice el argumento, no puede dar alcance a la tortuga que persigue. Pues es necesario que el perseguidor, antes de alcanzar la meta, llegue primero al lugar del cual partió el que huye. Pero cuando el perseguidor llega a este punto, el que huye avanzó una cierta distancia, si bien ésta es menor que la que recorrió el perseguidor, que es más veloz. Pero avanzó: no se estuvo quieto. Y nuevamente en el tiempo en que el perseguidor alcanza el punto al que llegó el que huye, éste avanzó algo, si bien menos que lo que se había movido antes, pues es más lento que el perseguidor. Y así, siempre que el perseguidor avanza hasta donde había llegado el que huye, que es más lento, éste ha avanzado algo. Aunque el recorrido es cada vez menor, sin embargo algo recorre, pues está siempre en movimiento. Por el hecho de suponer distancias cada vez menores hasta el infinito —a causa de la división de las magnitudes hasta el infinito— no sólo Héctor no será alcanzado por Aquiles; tampoco lo será una tortuga. Supóngase que se trata de un estadio. Una tortuga avanza a partir de la mitad del estadio, y Aquiles avanza diez veces más en el mismo tiempo. Aquiles, desde el comienzo del estadio, inicia la persecución de la tortuga, y avanza medio estadio, de modo que llega a la mitad del mismo, de donde partió la tortuga. Pero ésta avanzó ya la décima parte de la mitad restante del estadio. Aquiles recorre entonces la décima parte de esta mitad del estadio; pero la tortuga avanzó la décima parte de la décima parte de la mitad restante. Y mientras quede una décima parte de cualquier distancia, y ella tenga a su vez una décima parte, la tortuga estará siempre delante de Aquiles, y jamás ninguno de los dos podrá recorrer la totalidad del estadio
ARIST., Fís. VI 9, 239b: El tercer argumento es el que se expone ahora: la flecha arrojada está inmóvil. Esto se deduce de suponer que el tiempo está compuesto de instantes; pero si no se admite
esto, no se inferirá la conclusión.
El segundo argumento es llamado «Aquiles». Es éste: el corredor más lento no será nunca alcanzado por el más rápido, pues es necesario que el perseguidor llegue primero al lugar de donde partió el que huye, de tal modo que el más lento estará siempre nuevamente un poco más adelante. Este argumento es igual que el de la dicotomía y sólo se diferencia de éste en que la magnitud que se agrega no se divide en dos.
Fís. 1013, 31 - 1014, 3: Este argumento de la división al infinito fue retomado de un modo diferente. Vendría a ser así: si el movimiento existe, lo más lento nunca será alcanzado por lo más rápido. Pero, como esto es imposible, el movimiento no existe.
C) La flecha
ARIST., Fís. VI 9, 239b: El tercer argumento es el que se expone ahora: la flecha arrojada está inmóvil. Esto se deduce de suponer que el tiempo está compuesto de instantes; pero si no se admite
esto, no se inferirá la conclusión.
ARIST.,Fís. 1011, 19-26: El argumento de Zenón que proclama que todo, cuando está en algo igual a sí mismo, está en movimiento o en reposo, y que nada que esté en el instante se mueve, y que todo lo que se mueve está siempre, en cada instante, en algo igual a sí mismo, parece razonar así: el proyectil arrojado está en todo instante en algo igual a sí mismo, y así durante todo el tiempo. Pero lo que está en un instante igual a sí mismo, no se mueve, pues nada está en movimiento en el instante; y lo que no se mueve, está en reposo, pues todo está en movimiento o en reposo. Por ello, el proyectil arrojado, mientras se encuentra arrojado, está en reposo durante todo el tiempo en que dura su trayecto.
ARIST., Fís. 1015, 29-31: Si es necesario que todo esté en movimiento o en reposo, mientras que lo que se mueve está siempre en algo igual a sí mismo, el proyectil arrojado está inmóvil en su trayecto. En efecto: lo que está siempre en algo igual a sí mismo, no se mueve, sino que está en reposo.
ES DECIR, RESUMIENDO ESQUEMATICAMENTE ZENON AFIRMA QUE:
ES DECIR, RESUMIENDO ESQUEMATICAMENTE ZENON AFIRMA QUE:
(1 1)En todos y cada uno de los instantes, la flecha está en reposo.
(2 2)Cualquier intervalo de tiempo está compuesto de instantes.
(3 3)Por lo tanto, durante cualquier intervalo de tiempo la flecha no se está moviendo.
D) El Estadio
ARIST., Fís. VI 9, 239b: <a> El cuarto argumento es acerca de unos cuerpos iguales que, en un estadio, se mueven en direcciones opuestas frente a otros cuerpos iguales, algunos desde el fin del estadio y otros desde la mitad, a igual velocidad. <b> En este argumento ocurre que se llega a creer que la mitad del tiempo es igual al doble del mismo. <c> El falso razonamiento[42] consiste en que se supone que un cuerpo de igual tamaño es capaz de pasar a la misma velocidad y en el mismo tiempo tanto frente a un cuerpo en movimiento como frente a un cuerpo en reposo. <d> Supóngase unos cuerpos AA, iguales y en reposo; otros cuerpos BB, iguales en número y en tamaño a aquéllos, que comienzan a moverse desde el punto medio de los A; y otros cuerpos CC, también iguales en número y en tamaño a los anteriores, y que parten desde el final del estadio a la misma velocidad que B.; Ocurre que el primero de los B alcanza al último de los C, y, al mismo tiempo, el primero de los C al último de los B, moviéndose los unos frente a los otros.; También el grupo C pasó delante de todos los B, pero B pasó sólo delante de la mitad de los A, de modo tal que el tiempo requerido fue sólo la mitad. Pero el tiempo empleado por cada uno para pasar delante de cada uno de los otros, fue igual; Sucede entonces que al mismo tiempo el primer B pasó delante de todos los C, pues el primer C y el primer B estarán simultáneamente en los extremos opuestos —ya que, como dice, empleó el mismo tiempo para pasar delante de los B que para hacerlo delante de los A— en razón de que ambos necesitaron el mismo tiempo para estar frente a los A.
DE ZENÓN (s IV a C.) A CANTOR (s. XIX) Y CRÍTICA POSTERIOR (S.XX Y XXI) LA FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS Y LA MATEMÁTICA TRANSFINITA.
Una de lasauténticas dificultades contextuales que rodeaban la dicotomía era que los griegos no tenían el cero en sus matemáticas. Al no haber una cantidad reconocida (el cero) hacia donde pueda converger la sucesión convergente 1/2, 1/4, 1/8 ...(Fig 1) las matemáticas griegas carecían de equipamiento conceptual para comprender la convergencia, límites, sumas parciales, etc.
Por su parte, Aristóteles introdujo una idea que dominaría el pensamiento de los siguientes dos mil años . Rechazaba el "infinito-actual" proponiendo en su lugar un "iinfinito-potencial". Su idea era que aunque no seamos capaces de concebir los números Naturales en su totalidad, estos son potencialmente iinfinitos, en el sentido de que dada una colecci on finita de ellos, siempre se puede encontrar una colección finita mayor. Unos dos mil años más tarde, Cantor dijo que la distinción de Aristóteles era puramente lingüística. En realidad el infinito potencial sólo tiene una realidad prestada, hasta el punto de que el concepto de infinito potencial siempre apunta a un concepto l ógico de infinito actual, de cuya existencia depende. Algunos autores, como Arquímedes, trabajaron mucho con esta idea, utilizando el método de exhaución ideado por Eudoxo. Pero Arquímedes reconoce en "El Método" que estos razonamientos no son verdaderas demostraciones matemáticas.
Santo Tománs de Aquino, en su Summa Theologica, introdujo un argumento que había de llamar la atención de Cantor seis siglos mas tarde, al punto de citarlo en su "Mitteillungen zur Lehre vom Transfiniten": donde lo califica de única objección realmente significativa en toda la historia a la existencia de un infinito real.
"La existencia de una multitud infinita real es imposible. Pues cualquier conjunto de cosas que uno considere tiene que ser un conjun to específico. Y los conjuntos de cosas están especificados por el número de cosas en ellos. Ahora, ningún número es infinito, pues el número resulta de contar a lo largo de un conjunto en unidades. Así, ningún conjunto de cosas puede ser iherentemente ilimitado, ni puede ocurrir que sea ilimitado" (Summa Theologiae. I.a. 7.4 Traducción de Rucker Infinite the Mind, pág 52)
La importancia del argumento es que trata el i9nfinito en forma de conjuntos de cosas que es lo que iban a hacer luego Cantor y Dedekind seis siglos mas tarde y la tercera frase es casi idéntica a la manera como Cantor definirá el cardinal de un conjunto
El primero en enfrentarse de verdad con el infinito fué Garlileo Galilei. con las cantidades infinitamente pequñas al estudiar el problema de las dos ruedas, proponiendo convertir la menor en la mayor añadiendo una cantidad infinita de incrementos infinitamente pequeños; los indivisibles, semilla de los infinitesimales. En sus Dos Nuevas Ciencias anticipa alguno de los descubrimientos de Cantor sobre la peculiar aritmética de las cantidades infinitas, es decir que no todos los infinitos tienen el mismo tamaño. anticipándose a Kant al atribuir lkas paradojas del inifnito a las arraigadas creencias de nuestras mentes finitas, no a cualquier realidad exterior a la mente.
Para tratar con cantidades infitamente grandes, establece por vez primera la biyección, (concepto que aparecería mucho más tarde) entre los números naturales y los cuadrados perfectos, concluyendo que no puede considerarse que dos cantidades infinitas esten relacionadas por igualdad o desigualdad. En esta época John Wallis introdujo en símbolo de infinito actual.
Decadas más tarde de surgir los indivisibles, Newton y Leibnitz desarrollaron de forma paralela dos versiones del cálculo infinitesimal. Aun cuando Newton lo desarrolló con anterioridad no pudo publicarlo. Poco después Leibnitz publico sus desarrollos y Newton lo acusó de plagio. La obra de Newton no se publicó hasta dos décadas después de su muerte.
Por su parte, Aristóteles introdujo una idea que dominaría el pensamiento de los siguientes dos mil años . Rechazaba el "infinito-actual" proponiendo en su lugar un "iinfinito-potencial". Su idea era que aunque no seamos capaces de concebir los números Naturales en su totalidad, estos son potencialmente iinfinitos, en el sentido de que dada una colecci on finita de ellos, siempre se puede encontrar una colección finita mayor. Unos dos mil años más tarde, Cantor dijo que la distinción de Aristóteles era puramente lingüística. En realidad el infinito potencial sólo tiene una realidad prestada, hasta el punto de que el concepto de infinito potencial siempre apunta a un concepto l ógico de infinito actual, de cuya existencia depende. Algunos autores, como Arquímedes, trabajaron mucho con esta idea, utilizando el método de exhaución ideado por Eudoxo. Pero Arquímedes reconoce en "El Método" que estos razonamientos no son verdaderas demostraciones matemáticas.
Santo Tománs de Aquino, en su Summa Theologica, introdujo un argumento que había de llamar la atención de Cantor seis siglos mas tarde, al punto de citarlo en su "Mitteillungen zur Lehre vom Transfiniten": donde lo califica de única objección realmente significativa en toda la historia a la existencia de un infinito real.
"La existencia de una multitud infinita real es imposible. Pues cualquier conjunto de cosas que uno considere tiene que ser un conjun to específico. Y los conjuntos de cosas están especificados por el número de cosas en ellos. Ahora, ningún número es infinito, pues el número resulta de contar a lo largo de un conjunto en unidades. Así, ningún conjunto de cosas puede ser iherentemente ilimitado, ni puede ocurrir que sea ilimitado" (Summa Theologiae. I.a. 7.4 Traducción de Rucker Infinite the Mind, pág 52)
La importancia del argumento es que trata el i9nfinito en forma de conjuntos de cosas que es lo que iban a hacer luego Cantor y Dedekind seis siglos mas tarde y la tercera frase es casi idéntica a la manera como Cantor definirá el cardinal de un conjunto
El primero en enfrentarse de verdad con el infinito fué Garlileo Galilei. con las cantidades infinitamente pequñas al estudiar el problema de las dos ruedas, proponiendo convertir la menor en la mayor añadiendo una cantidad infinita de incrementos infinitamente pequeños; los indivisibles, semilla de los infinitesimales. En sus Dos Nuevas Ciencias anticipa alguno de los descubrimientos de Cantor sobre la peculiar aritmética de las cantidades infinitas, es decir que no todos los infinitos tienen el mismo tamaño. anticipándose a Kant al atribuir lkas paradojas del inifnito a las arraigadas creencias de nuestras mentes finitas, no a cualquier realidad exterior a la mente.
Para tratar con cantidades infitamente grandes, establece por vez primera la biyección, (concepto que aparecería mucho más tarde) entre los números naturales y los cuadrados perfectos, concluyendo que no puede considerarse que dos cantidades infinitas esten relacionadas por igualdad o desigualdad. En esta época John Wallis introdujo en símbolo de infinito actual.
Decadas más tarde de surgir los indivisibles, Newton y Leibnitz desarrollaron de forma paralela dos versiones del cálculo infinitesimal. Aun cuando Newton lo desarrolló con anterioridad no pudo publicarlo. Poco después Leibnitz publico sus desarrollos y Newton lo acusó de plagio. La obra de Newton no se publicó hasta dos décadas después de su muerte.
. Newton hablaba de "incrementos evanescentes" mientras que Leibnitz creó la simbología que hoy conocemos (dx y el simbolo de integral) y la palabra función Pese a su efectividad, pues su grado de hiperabstracción funcionaba increiblemente bien en el mundo real,(astronomía, mecánica, ingiería, geografía, carpintería metalurgia, química, hidrostática, óptica y un largo etcétera) el cálculo, privado de fundamentación seguía sujeto a las mismas paradojas y contradicciones. Su fundamentación rigurosa fue lenta y llegó hasta el siglo XIX de la mano de Weierstrass.
A principios del siglo XIX el cuarteto de matemáticos compuesto por Bolzano, Cauchy, Abel y Dirichlet fueron pioneros del Análisis riguroso. El libro de Cauchy "Cours d'Analyse" de 1821 fue libro de texto en Europa durante los 150 años siguientes. Define los infinitesimales de forma rigurosa mediante el concepto de límite. Bolzano fue el primero en definir una función contínua no diferenciable (sin derivada) Como la mayoría de matemáticos religiosos, de Pitágoras a Gödel, Bolzano cree que las matemáticas son el lenguaje de Dios Fueron Bolzano y Cuachy quienes hicieron el primer trabajo destacado sobre condiciones de convergencia. Aunque gran parte del trabajo de Cauchy era sobreseries de funciones, optó por definir límite en términos de variables y no de funciones. Dirichlet dará la definición de función que se usa todavía en las matemáticas modernas: "y es una función de x cuando a cada valor de x en un intervalo dado le corresponde un único valor de y". En 1854 en artículo fundacional Riemann resuelve el problema de la convergencia general de las series de Fourier. Este punto resulta crucial para la fundamentación del análisis. El siguiente paso lo dará Weirestrass.
Las innovaciones de Dedekind y de Cantor surgieron, más o menos del mismo modo que el cálculo, como maneras de tratar ciertos problemas que se habían hecho tan urgentes que las matemáticas no iban a poder avanzar sin afrontarlos. Un ejemplo podría ser el razonamiento erróneo del enorme matemático Cauchy, formalizador del cálculo, al sostener que la suma de una serie de funciones continuas converge en todas partes de un cierto intervalo hacia la función C ésta es contínua en este intervalo.
Hacia 1820 surgen las geometrías no euclidianas basadas en el descubrimiento de que el quinto axioma de Euclides, (Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a la misma) era prescindible, lo que hace que la geometría deje de ser considerada válida para cualquier tipo de fundamento, precisamente cuando se está formalizando el análisis con ella mediante, entre otros, con el concepto de lìmite. Precisamente en 1820, cuando Cauchy, cambiando de criterio, afirma en su Cours d'Analyse "Sería un serio error pensar que uno solo puede hallar la certidumbre en demostraciones geométricas o en el testimonio de los sentidos" Estaba naciendo la idea Weiwrstressiana de fundamentar el análisis artimética y no geométricamente.
Pero había cierto lio en los números negativos. Euler estaba convencido de que eran mayores que infinito a la derecha de la recta númerica y aún en 1840 De Morgan sostenía que los números negativos eran tan "imaginarios" como "i". Los irracionales aun no estaban definidos.
En palabras del historiador I. Grattan-Guinnes ("From the Calculus to Set Theory", pag 132) "La historia del análisis matemática durante el último tercio del sigo XIX es, en gran medida, la de los matemáticos aplicando técnicas weierstrassianas a problemas riemnianos" La verdadera inspiración de esas técnicas no es de Fourier ni de Riemann sino de Niels Henrik Abel, específicamente una innovación llamada funciones elípticas obtenida hacia 18255 a partir de las integrales elípticas.
El acierto de Weierstrass fue hallar un substituto riguroso totalmente aritmético del "decrecer indefinidamente" y redefine con mayhor rigor el concepto de continuidad de una función en términos de los números épsilón y delta de la forma que conocemos hoy como sigue:
Aun cuando no sea nada académico me voy a tomar la libertad de recordar a mi buen y añorado padre. Un autodidacta increible que, en este reciso momento habría dicho, como solía que, por fin, se resuelvió de verdad la aporía de Zenón y es que Weirstrass, con su definición ha terminado "dándole sopas con honda" jajaja.
Este artículo de divulgación sin pretensión alguna, me está quedando demasiado largo, Emplazo al amable lector a leer una segunda parte dedicada a Cantor en un próximo post, a la vez que pido disculpas por la excesiva extensión de éste.
Bibliografía:
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| Cauchy en 1901 |
Las Nuevas Geometrías. Los logros de Cantor. Matemática Transfinita
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| Cantor |
Hacia 1820 surgen las geometrías no euclidianas basadas en el descubrimiento de que el quinto axioma de Euclides, (Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a la misma) era prescindible, lo que hace que la geometría deje de ser considerada válida para cualquier tipo de fundamento, precisamente cuando se está formalizando el análisis con ella mediante, entre otros, con el concepto de lìmite. Precisamente en 1820, cuando Cauchy, cambiando de criterio, afirma en su Cours d'Analyse "Sería un serio error pensar que uno solo puede hallar la certidumbre en demostraciones geométricas o en el testimonio de los sentidos" Estaba naciendo la idea Weiwrstressiana de fundamentar el análisis artimética y no geométricamente.
Pero había cierto lio en los números negativos. Euler estaba convencido de que eran mayores que infinito a la derecha de la recta númerica y aún en 1840 De Morgan sostenía que los números negativos eran tan "imaginarios" como "i". Los irracionales aun no estaban definidos.
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| Weierstrass |
En palabras del historiador I. Grattan-Guinnes ("From the Calculus to Set Theory", pag 132) "La historia del análisis matemática durante el último tercio del sigo XIX es, en gran medida, la de los matemáticos aplicando técnicas weierstrassianas a problemas riemnianos" La verdadera inspiración de esas técnicas no es de Fourier ni de Riemann sino de Niels Henrik Abel, específicamente una innovación llamada funciones elípticas obtenida hacia 18255 a partir de las integrales elípticas.
El acierto de Weierstrass fue hallar un substituto riguroso totalmente aritmético del "decrecer indefinidamente" y redefine con mayhor rigor el concepto de continuidad de una función en términos de los números épsilón y delta de la forma que conocemos hoy como sigue:
Aun cuando no sea nada académico me voy a tomar la libertad de recordar a mi buen y añorado padre. Un autodidacta increible que, en este reciso momento habría dicho, como solía que, por fin, se resuelvió de verdad la aporía de Zenón y es que Weirstrass, con su definición ha terminado "dándole sopas con honda" jajaja.
Este artículo de divulgación sin pretensión alguna, me está quedando demasiado largo, Emplazo al amable lector a leer una segunda parte dedicada a Cantor en un próximo post, a la vez que pido disculpas por la excesiva extensión de éste.
Bibliografía:
- David Forster Wallace: "Tódo y Más" Una breve historia del infinito.D (edición elctrónica 01.09.2015)
- Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. Un eterno y grácil Bucle (Metatemas 14. . Libros para pensar la ciencia. Edición electrónica). Este libro es el mejor hallado hasta la fecha con un formato pdf que permite una lectora óptima exactamente igual de cómoda que si fuese epub o mobi. Hasta el momento no he logrado aclarar cómo se ha conseguido
- José Ortega y Gasset: Obras Completas, en especial el tomo V (edición electrónica 25.11.2017)
- Platón: Diálogos (edición electrónica 17.10.2015)
- Los Filósofos Presocráticos, en especial el tomo II (edición electrónica 01.05.2017)
- Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo: Análisis Matemático. (Editorial Kapelusz . Buenos Aires 1960)
- Tomás Apostol: "Cálculus" Editorial Reverté, S.A. . Barcelona 1984
- Joan Casulleras Regás. Matemáticas curso V, VI y Preuniversitario plan 1957. Editorial Anaya, Barcelona
- Rey Pastor - Puig Adam: Matemáticas curso IV Bachillerato plan de 1957. Biblioteca Matemáticas, Madrid 1967
- Apuntes de Análisis matemático UB octubre 1977 a junio del año 1978
- Apuntes de Análisis Matemático Academia Contec julio-sepiembre de 1978
- Egmont Colerus. "Desde el punto a la cuarta dimensión" Una geometrtía para todos. Editorial Labor, S.A. Barcelona, 1948
- Howard Eyes "Estudio de las Geometrías" UTEHA Méjico, 1969
