1 Autores excepcionales que cambiaron mi vida: Alexander Niklitschek y Etienne Bonnot de Condillac
Una insólita manera de enterarse de qué va "eso de la matemática"
A
los catorce años hube de abandonar la escuela (en la que empezaba el
prier curso de bachilerato) y el conservatorio (donde estudiaba cuarto
curso de piano) Mi hermana Esmeralda acababa de nacer y mi madre estaba
gravemente enferma. Mi salario iba íntegro a la farmacia para poder
hacer frente a esos nuevos gastos que habían surgido. Los tres años
siguientes, es decir hasta los diecisiete,mi único alimento espiritual
fueron los libros que buscaba con avidez y encontraba, bien en la
biblioteca paterna bien en el mercado dominical del Mercado de San
Antonio de mi ciudad, Barcelona. Tuve la gran suerte de encontrar dos
libros excepcionales, el primero de ellos un extraordinario tratado de:
divulgación de las matemáticas: "El Prodigioso Jardín de las
Matemáticas" de Alexander Niklitschek, editado por Gustavo Gili en 1943.Que un libro de divulgación que parte casi de cero, explique no solo los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral, con ejemplos luminosos y fáciles de entender para un adolescente, sino los temas de matemática avanzada, como las geometrías no euclideas, las propiedades topológicas del toro y la cinta de Moëbius, la pseudoesfera, las figuras del espacio tetradimensional R4 y la artimética transfinita de Cantor, es un milagro que no he visto repetido nunca mas. Ese libro me abrió la mente a temas que no podía ni sospechar que existían, para los que me habían preparado mis incursiones de niño en la biblioteca de mi padre, con lecturas como Platón, Voltaire, Balmes, Pompeyo Gener y un largo etcétera desde mis once años. Niklitschek abrió mi mente a un nuevo, insólito y deseado territorio pero, sobre todo, inundó, con cosas infinitamente bellas, mi alma juvenil
No puedo dejar de reproducir aquí el capítulo que títula "La Lucha contra el infrinito", tan luminosa y extraordinariamente escrito, (y traducido) elegido por ser, ademàs del más corto de todos los del libro, uno de los más interesantes:
LA LUCHA CONTRA EL INFINITO
Acabamos de ver en el desarrollo del curioso ejemplo del círculo, todo el poder de una definición. Valiéndonos, pues, de una "definición"
vamos a atrevernos con el monstruo infinito. La dificultad de expresar
este concepto con palabras está en el hecho de que podamos "romper fuego" con varias definiciones a la vez. Los filósofos dicen, por ejemplo: "Infinito es aquello de lo que no es posible imaginar el fin, aquello a lo que no se conocen límites". Los matemáticos se expresan diciendo: "Un número o una cantidfad son inifitos cuando son mayores que toda cantidad dada, por grande que ésta sea"
Podríamos aducir todavía multitud de definiciones, más o menos
ingeniosas y acertadas; pues como el ingenioso Mefistófeles dijo "Dónde faltan los conceptos, acuden oportunamente las palabras" Pero sepamos lo que hemos conseguido con la definición: veamos cómo ha de ser un número al que podamos llamar "infinitamente grande"
La
consecuencia inmediata deducida del sentido puramente matemático de la
afirmación de existencia de una cantidad infinita, será la de que las
cuatro operacines de cálculo elelmental - adición, substracción,
multiplicación y división - escapan a dicha cantidad del mismo modo que
una piña escaparía a un cascanueces vulgar con el cual se intentase
romperla. Lo infinito no aument al sumarle una cantidd, por grande que
sea, ni disminuye, aunque se le substraiga un número infinito monstruoso
que sume una cantidad gigantesca de quintillones. Tasmpoco la
multiplicaciuón puede hacer al infinito mayor de lo que es, y sería
tmbién, igualmente absurda toda idea de división de la cantidad
infinita. Es evidente que tales consideraciones vienen a echar por
tierra todas nuestras concepciones y todas la leyes que rigen nuestra
manera de pensar. Pondremos un ejemplo que, pese a su entera absurdidad
aparente, es absolutamente exacto. Nos referimos a la infinidad del
tiempo, a la eternidad. Si a partir del instante actual, es decir del
presente, sigo contando toda una eternidad llegaré con los números tan
lejos como si hubiese empezado a contar desde el más remoto pasado,
desde una eternidad pretérita. Puesto que la mitad de lo infinito es
infinita.
Desde la obscura antigüedad, en que los hindúes encontraron el
concepto de infinidad, la idea del ininito ha gravitado sobre el
pensamiento humano como una losa. Y, al igual que el rodillo de una
apisonadora no deja casi rastro de la cáscara de una nuez que por
casualidad encuentra en su camino, cualquier esfuerzo mental en marcha
para abarcar lo eterno o lo infinito, destruye todo nuestro bagaje
intelectual reduciéndolo a la nada. No es, pues, de extrañar que entre
los grandes hombres que homramos como a preclaros maestros de la
humanidad haya habido muchos que elevaron su voz poderosa para
prevenirnos contra la admisión de lo infinito, Aristóteles nos enseñó ya
que es imposible la admisión de un infinito absoluto. Descartes
rehusaba ocuparse del infinito y C. F. Gauss, príncipe de las
matemáticas, se oponía al uso de toda cantidad infinita en el sentido
definidor, como algo que en matemáticas no debiera permitirse jamás;
pero, no obstante, la humanidad hubo de encararse con un infinito
desconcertante, monstruoso e irrepresentable.
Mejor dicho, se logró atrapar al inmenso coloso, a ese infinito en
apariencia inaccesible, mediante un cascanueces gigantesco capaz de
romper la inmensa nuez entre sus potentes mandíbulas de acero. En el
último tercio del pasado siglo, hizo su aparición la llamada teoría de los conjuuntos que
señaló nuevos rumbos a los matemáticos, en orden al estudio del
infinito. Después de tántos milenios de polémica, cúpole a aquel siglo
la suerte de establecer afirmaciones prácticamente irrefutables. Como en
tantas otras concepciones geniales, la primera idea, la idea más
fundamental, parte de un hecho sumamente sencillo.; y es por tal motivo
que este arma, la mas importante para la exploración del infinito puede,
no sin razón, ser considerada como un retroceso a los principios
anteriores del cálculo, tales como el procedimiento de contar con los
dedos, tan practicado aún entre los niños y en el seno de los pueblos
salvajes. El primer término precisó montar un puente imaginario que
condujera al reino tenebroso de lo infinito, es decir, que fue menester
hallar una operación de cálculo que sirviese de ariete para atacar al
monstruo que lleva ese nombre pues, como sabemos, el infinito no se
altera, ni aumenta ni disminuye mediante la adición y substracción de
números finitos, por grandes que éstos sean. El infinito multiplicado
por cualquier número finito e incluso por el infinito mismo nos da,
ineludiblemente, el propio infinito, del mismo modo que al dividirlo por
cualquier número monstruoso, astgronómico, el cociente es,
invariablemente,m el inmutable infinito. Y ocurre exactamente igual al
aplicarle la elevación a potencias, extracción de raices, cálculos
logarítmicos, diferenciaciones, etc. operaciones con las que solo se
logra poner de manifiesto su propia impotencia cada vez que tratan de
habérselas con él.
Después de todo lo dicho, cuando descubramos la ingenua operación que
va a permitir luchar con el infinito, nos parecerá cosa de broma.
Consiste sencillamente en la operación de coordenar. Supongamos, por
ejemplo, que en un lugar cualquiera de una selva africana está sentado
un honrado hotentote, perito en el arte de dar caza al fiero leon y al
terrible rinoceronte. pero completamente en blanco por lo que se refiere
al cálculol mental, ya que nuyestro negro "gentleman" no sabe ni
siquiera contar.Pero ha consegui9do juntar un montçon de cocos y un
pequeño jmontoncito de dátiles y quisiera saber en cuál de los montones
hay más piezas. Y es entoncesque viene en su auxilio la "coordinación".
Sobre cada coco coloca un dátil, y al terminar ve, de modo
inconfundible, si tiene más datiles, más cocos o igual número de unos
que de otros.
He aquí otro ejemplo un poco más preciso. Para esta noche tenemos a
cenar 10 convidados, y contándonos usted y yo, los dos anfitriones,
seremos un total de 12 personas. En este caso será nuestra ama de llaves
la que habrá de "coordenar". Cada persona requiere una silla, un plato
sopero y otro llanm, un tenedor, un vaso, etc.. Y ahora toda la
matemática que el caso requiere, consiste en lograr que el número de
sillas, tenedores cuchilos, vasosm, etc. esté, como dice la expresión
matemática
"uniformemente coordenado"
al número de las personas invitadas a cenar. Todos estos "conujuntos" de cuchillos, sillas, vasos, etc, han de ser de:
"igual número"
puestro que para 12 personas se necesitan: 12 sillas, 12 cuchillos, 12 tenedores, 12 vasos, etc.
Con esto tenemos la siguiente definición:
Se dirá que dos cantidades tienen igual número siempre que entre sus
elementos sea posible establecer un coordenación unívoca. La
característica que toda cantidad ofrece de común con tods las demás
cantidades de igual número, y por la que se distingue de cualquiera otra
cantidad que no sea de igual númerom se denomina "número" de esta
cantidad. Es claro que todo esto son "preogrulladas pero es preciso
tenerlas bien presente puesto que auí surge la "idea rectora", la
conclusión transcendental de nuestra coordinatoria. No habiéndonos dicho
en parte alguno, ni pudiendo afirmar nadie, que la coordinación sea
exclusivamente aplicable a lo finito, es deducible que debe ser también
aplicable a cantidades infinitamente grandes. Y cpm ello tenemos
en la mano el instrumento ideal que va a permitirnos adueñarnos de ese
inabordable monstruo de lo infinito ¡Ya está tendido el puente! Mas
antes de hacer uso de este instrumento que acabamos de forjar, será
necesario que dejemos sentados dos puntos básicos relativos a la
nomenclatura.
 | ||||||
| Fig 1 Conjunto unívocamente coordenado entre si. |
En
rigor, hablar de un número infinitamente grande carece de sentido; pues
la propia naturaleza de infinito lleva ya consigo el ser mayor que
cualquier otro número, por grande que éste sea. Será más justo, pues,
hablar de "cantidades infinitas" En segundo lugar. las denominaciones de
"grande" o "mayor" resultan realmente gastadas cuando se refieren al
ininito, puesto que éste ha sido aceptado ya desde un principio como
infinitamente grande. digamos simplemente "extenso", en lugar de mayor
digamos "más extenso" y en lugar de menor "menos extenso". Ésto, bien
entendido, cuando nos referimos a cantidades infinitamente grandes.
Ahora sabemos ya lo suficiente, y podemos lanzarnos a probar la
mñagica vitud de nuestro cascanueces, La primera cuestión que se nos
plantea corresponde tal vez a la pregunta siguiente: ¿Pero es que hay
acaso cantidades infinitas? Seguramente no necesitaremos buscar
demasiado pues hay, como es notorio, infinitos números naturales
distintos (se consideran números naturales los números enteros positivos, como 1, 2, 3, 4, 5 ...)
Así pues, , la cantidad, o mejor dicho , el conjunto de todos estos
números naturaes nos ofrece un número infinito de elementos y
constituye, poor tanto, una cantidad infinita. Los conjuntos que tengan "igual número"
que este conjunto de los números naturales , y cuyos elementos puedan
ser unívocamente coordenados con los referidos números reciben el nombre
de "conjuntos infinitos numerables".
Al
decir que un conjunto tiene por número el die, por ejemplo, se quiere
significar que sus elementos pueden ser coordenados con los diez
primeros elementos (e número de dedos de la mano es, por lo tanto, un
conjunto de esta clase y que, en consecuencia, podrá ser numerado por
los primeros diez números naturales; por esto se dice que es nuymerable.
Lo mismo podrìa decirse de la cantidad 11, 580 ó de la 22.545, etc. El
carácter definitivo es y será siempre el de numerabilidad, o si se
prefiere, la "posibilidad de numeración" . Ahora haremos lo dicho
hasta aquí extensivo a los conjuntos infinitos. Según lo expuesto, un
conjunto infinito numerable será aquel cuyos elementos puedan ser
coordenados univocamente, con la totalidad de los números naturales, es
decir, aquél cuyos elementos puedan ser "numerados" con el conjunto de
los números naturales. Mas, según nuestra definición, todos los
conjuntos infinitos numerables han de ser de nùmero igua, (constarán del
mismo "número de piezas" , como diríamos vulgarmente). Este número ha
de llevar un nombre , del mismo modo que el número coordenable con los
dedos de nuestra mano izquierda lleva el número de "cinco" desde tiempo
inmemorial.
El
conjunto que corresponde a la totalidad de los números naturales recibe
el nombre de "alfa cero". Pero, estimando que para designarlo cuadra
mejor la a del alfabéto gótico, adoptaremos éste y lo usaremos aqí en
lugar de aquella letra griega. De modo que, en lo sucesivo, en vez de "alfa cero" escribiremos
a
Esta a es,
por consiguiente la primera expresión de la extensión de un conjunto
infinito (o también, como se dice en el lenguaje científico, de un
"número cardinal transfinito" que mas adelante estudiaremos.
Repetiremos que al decir: "un conjunto tiene el número cinco" se da a
entender que os elementos de esa cantidad pueden ser coordenados
unívocamente con los dedos de la mano derecha (o de la mano izquierda) ,
o con los guarismos 1, 2, 3, 4, 5. Por lo tanto, al decir que un
conjunto tiene el número a se
entiende que los elementos de dicho conjunhto pueden ser unívocamente
coordenados con todos los números naturales , o que pueden ser
"numerados con éstos".
Consideremos ahora otros ejemplos de conjuntos infinitos numerablesy
veremis enseguida como damos con hecho sumamente sorprendentes, que se
hallan en c ontraposición con nuestros conceptos generalmente admitidos.
Es innegable que el conjuunto de números pares es infinito numerable .
Pero de ahí se deduce, sn ninguna duda posible, que de n´`umeros pares
hay la misma cantidad que de números naturales en general , aunque uno
se siente inclinado a aceptar que ha de haber menos números pares que
números enteros en general. Resulta, pues,para sorpresa nuestra, que
¡no es cierto que haya más números naturales que n úmeros pares! Lo
mismo exactamente podríaamos decir respecto de ls números impares, cuyo
conjunhto es también infinito numerable.
¡Existen, pues, tantos números
pares, como imares y como números naturales en general! Hay algo más
sorprendente todavía, pues el conjunto de parejas de números naturales es también un infinito numerable y su cantidad ha de ser, por lotanto igual a a. No
resulta, en esencia, mucho más intrincada la demostración de que el
conjuunto de todos los números , incluyendo los quebrados comunes, es un
infinito numerable y es, por esta razón, de número igual al del
conjunto de todos los números naturales, Ya en el último terceio del
siglo XIX se pudo demostrar que el conjunto de todos los números
posibles, con excepción de los transcendentes ,véanse páginas 50 y
siguientes es también infinito numerable e igual, por consiguiente a a
Nos hallamos pues, en resumen con la sigiente serie de hechos portentosos: los números de:
todos los números naturales
todos los números pares
todos los números impares
todos los números naturales y quebrados comunes
son = "alfa cero" = a
A la vista de tales resultados, a todas luces desvariados, el lector
dudará tal vez de nuestro sano juicio. Se imaginará seguramente que en
el intento de enfrentarnos con el misterioso y obsesionador infinito
hemos sido vçictimas de una completa confusión mental. Pero no hay que
perder la calma porque la cosa no va tan malparada.
Si de buenas aprimeras hemos emprendido una marcha en busca de lo
ignoo y aun de lo no imaginable no debe sorprendernos el oir cosas
inesperadas e inauditas, pues si, por ejemplo, es claro como la luz del
sol que el reciente descubrimiento de un animal desconocido hasta el
presente no ha de dar pie a otra pretensión que la de clasificarle en
una nueva especie, si es que realmente ofrece características
esencialmente distintas de todos los animales conocidos. es claro
también que las cantidades infinitamente grandes han de distinguirse de
manera fundamentalísima de las cantidades finitas y que, como es de
esperar, ocurra que en el inmenso terreno de lo infinito rijan leyes muy
distintas de las que tienen validez en los dominios limitados de lo
finito. A parte de eso, las rarezas que hemos hallado aquí en orden al
primer conjunto infinito a, en ningún modo contradicen las
propiedades que, desde un principio, habíamos descubierto ya en orden a
las magnitudes infinitas. Pero hay más, y es que la posible suposición
de que todos los conjuntos infinitamente grandes son iguales entre si o
son iguales a a carece de todo fundamento. Vamos a verlo inmediatamente.
En el año de 1874 se halló la prueba de que hay conjuntos infinitos que
no son numerables. Ha de haber pues, muchos (en realidad, infinitos)
conjuntos infinitos. Pudo demostrarse, ante todo, que el conjunto total
de los números llamados reales (que son todos los números o sea los
relacionados con i) no es infinito numerable. La
demostración de este asero es sencillísima e ilustrativa. Basta, en
efecto, demostrar que el conjunto de los números reales que caben entre
cero y uno, no es infinito numerable, es decir, que es tan numeroso que
siempre nos permitirá intercalar otro número por muy tupida que me
imagine su colocación previa. Para ello partimos del hecho de que las
divisiones ms finas de la alineación numérica (que conocemos ya por la
escala del termómetro) representan aquellas fracciones decimales no
periódicas extensibles hasta el infinito (Recordar que todas las
fracciones decimales periódicas, extensibles hasta el inifinito son,
como ya sabemos quebrados comunes, es decir, que pueden convertirse
directamente en tales)..Si logro, según eso, demostrar (y resumiré
aquí las premnisas de la demostración) que en un conjunto dado de
fracciones decimales indefinidas, no periódicas podré siempre interpolar
una más, deduciré de tal demostración que es imposible echar ninguna
cuenta, ni aún teóricamente, por el hecho de que, en todo momento, podrí
añadir aún algo, en cierto modo "olvidado" Expresándolo de otra forma,
diré; Si ya he terminado de contar definitivamente éste centenar, pues
me será ya imposible intercalar - si no quiero salirme de los números
enteros - otro número en ninguna parte. Al 38 le sigue el 39 al 82 el 83
etc. Pero la cosa varía considerablemente cuando se trata de fracciones
decimales indefinidas, no periódicas. Por muchas que pongamos
(situadas, por ejemplo entre 0 y 1) siempre encontraré algún nuevo
decimal de este tipo para añadir. Es claro que la demostración será
factible unicamente dentro de lo finito ya que no es posible escribir
fracciones decimales de extensión indefinida. Pero, con todo y esa
limitción, la cosa es tangible. Supongámonos antes as siguientes
fracciones decimales indefinidas, no periódicas:
0,1.755.483.679.002.315 ...
0,2.039.346.588.082.413 ...
0,3.135.428.660.437.275 ...
0,4.875.635.041.311.482 ...
0,5.433.880.294.013.652 ...
0, ... ... ... ... ... ... ... .. ... etc
Siguiendo
un método sistemático se puede indicar al momento un número cualquiera
que no sea igual a cualquiera de éstos, incluso en el caso de que las
fracciones decimales apuntadas se extendiesen hasta el infinito. He aquí
a tal efecto la "receta": Elíjase el primer decdimal del primer número,
diferente del primer decimal de la primera fracción; a continuación se
pasa al segundo decimal del nuevo número, diferente del segundo decimal
de la segunda fracción, seguidamente se va al tercer decimal del nuevo
número escribiéndolo diferente del tercer decimal de la tercera fracción
y así sucesivamente. Ahora se puede comprender claramente que de este
modo habría de hallarse un nujevo número real, comprendido entre 0 y 1,
distinto de cada uno de los arriba anotados. Si enb nuestro caso
hubiésemos adoptado, por ejemplo, el criterio de aumentar en una unidad
la cifra decimal que corresponde sucesivamente a cada una de las
fracciones dadas obtendriamos un nujevo número que empezaría 0,21469 ...
(y es claro que aun hay otras posibles soluciones) ¡Con lo cual queda
demostrado que el conjunto de los números reales no puede ser de igual
número que el conjunto de los números naturales. Esta nueva especie de
infinidad se denomina (valga la expresión) densidad de la continuidad y
viene designada con la letra c. De esas consideraciones se desprende un
resultado de una gran sorpresa. En efecto, como hemos aventurado
eanteriormente, el conjunto formado por los números enteros, los
quebrados comunes y todas las fracciones decimles periódicas de
infinitas cifras es un infinito numerable; pero por otra parte,de lo
dicho últimamente se deduce la imposibilidad de que el conjunto de los
números reales sea un infinito numerable, y la necesidad de que sea
mayor que el conjunto de los enteros, quebrados y fracciones periódicas.
Por esto ha de existir otra especie particular de números: los llmados
números transcendentes, muy buscado antaño por los matemáticos, de los
cuales sabemos que existen en una cantidad infinita.
Intentaremos aclarar ahoranuestro nuevo descubrimiento con auxilio de una imagen tangible. La densidad de un conjunto infinito numerable, como es a
resulta comparable a una escalera una escalera: en cada uno de los
peldaños de la misma, todos de igual altura,está un número entero. En un
lugar dado ha de hallarse el peldño 2.144, el siguiente vendrá señalado
por el número 2.145, al cual sigue el número 2.146 y así sucesivamente
hasta llegar al infinito. Nuestra escalera con sus peldaños netamente
distinguibles - podemos suponer sin inconvenientes que tienen 1 cm de
separación- condujce a alturas infinitas, a alturas inifnitamente más
lejanas que las de los mas distantes astros. Se comprende fácilmente que
así sea porque, estando formada por un número infinito de escalones,
todos ellos e altura apreciable, la longitud de la escalera ha de
resultar infinita. En cambio debe existir otra escalera que representa
nuestro infinito no numerable y en ella los escalones estar´`an
separados por una altura infinitamente pequeña debido a que la distancia
entre un número transcendente y el de igual naturaleza que le sigue es
de unja pequeñez infinita. De lo cual se deduce que, si bien el número
de escalones que contiene es infinito, esta escalera puede ser tan corta
como se desee. Y a esta segunda especie de infinito, que representa la
"densidad de la continuidad" con que se sucede la sucesión
ininterrumpida de números reales podemos hacerla corresponder, por
ejemplo, con los puntos de una recta.
Nos acechan ahora dos nuevos conceptos que, como mazas vienen a dar de pleno en el parador de nuestro sistema de conceptos matemáticos haciendo saltar todas las imágenes y representaciones que se habían incorporado, en carne y hueso, a nuestra mente. Una raya de lápiz cualquiera aun suponiendo que su longitud no exceda de un par de milímetros (imaginándola como una linea ingávida y sin espesor) contiene tantos puntos como corresponden al infinito conjunto de la continuidad. ¡Tenemos, pues, que toda una infinidad real cabe en el bolsillo de nuestro chaleco.
Pero aún hay más: Esa infinidad de la continuidad es muyo "mayor" que la de c, que es la expresión mas pequeña de conjuntos infinitamente grandes. Y esto nos conduce a la mas extravagante de las insensateces, a saber: Ni en toda la extensión deuna hoja de papel, ni siquiera en todo el orbe entero, está contenido mayor número de puntos que el de los que pueden alojarse en una raya de lápiz de unos dos milímetros de longitud. Ignoramos cuánto "mayor" o "mas poblado" es el infinito de la continuidad con respecto al c. En torno a esa cuestión se halla planteado el famoso problema de la continuidad, que absorbe los esfuerzos de los mejores matemáticos sin que hayan logrado encontrar, hasta el presente, ninguna pista que permita esperar una posibilidad de solución. Se sospecha, apenas, que la continuidad pueda ser tan densa como indica el concepto numérico que podríamos adquirir por la consideración del resultado de multiplicar a veces por si mismo un número finito igual o mayor que 2. Así, por ejemplo:
2 a = c , o también: 11.000.000.000 a = c
Si
uno medita un poco sobre esta sencilla fórmula, no podrá por menos que
echarse a reir ante el lastimoso agotamiento de nuestr capacidad de
razonamiento y de imaginación, cansado por la entrada en escena de tres o
cuatro letras. Tenemos que hay dos infinitos de diferente magnitud y
que el paso de un infinito a otro es por demás singular. Para ello hay
que tomar el número 2, o uno mayor que éste,, a condición de que sea
finito y multiplicarlo por si mismo tantas veces como elemntos contenga
el conjunto infinito mas pequeño que es a. Todo esto, diríase que tiene
algo de locura, y esta impresión se acentuará todavía más cuando sepamos
que entre el número - sin dueda ilimitado- de infinitos existente hay
todavía una tercera especie que ha sido estudiada y que hoy es ya en
cierto modo comprendida. Se trata de f o sea, el número de funciones
posible o,. mekjor explicado, el número total de posibilidades de que un
número dado de magnitudes puedan coexistir en mútua dependencia.
Resumiendo lo visto hasta aquí diremos que hoy día son tres las
infinidades que han sido objeto de mas concentrado estudio -
estableciéndose algunas leyes de cálculo que difieren bastante de
aquellas otras que rigen en nuestro mundo finito- y son:
a = conjunto de todos los números naturales
c = conjunto de todos los números reales
f = conjunto de todas las funciones
Para la mejor comprensión de lo dicho, haremos memoria de lo
anteriormente expuesto: hemos hallado "cantidades" de diferente especie
ue las conocidas en el mundo finito. Hemos penetrado en otro dominio de
las matemáticas que carece ya de toda conexión con lo finito. Se pueden
admitir infinitos de la extensión que se quiera 0, por decirlo así,
inventar, sin tasa, potencias de lo infinito cvada vez más elevadas. Lo
que, pmpero, no nos es posible, al menos con los nñumeros que nos hemos
creado en lo finito y para lo infinito, es hacer deslindes, ni siquiera
aproximdamente. Todas las cantidades infinitamente grandes son, por
decirlo así, tan gigantescas que sus límites quedan borrados en una
inundacion de toda clase de números y conceptos numéricos finitos.Son como el océano que no se deja limitar por un surco abiertocon la contera del bastón en la arena de la playa a. Podría esperarse de eso que fuera posible obtener el mayor de los números finitos. Pero esto no es posible; y no lo decimos precisamente a causa de que hayamosllegado a formarnos un concepto de la cantidad a, sino por motivo de la consabida definición de lo infinito, puesto que un número es infinito cuando es mayor que todo número dado por grande que éste sea. ¿Qué debo hacer pues para no incurrir en contradicción con lo que nos ha servido de punto de partida? Es dificil de enunciar aquí todo lo que podido establecerse acerca de los conjuntos infinios; en su contexto, la teoría de los conjuntos está aún, actualmente en pleno período de desarrollo, y únicamente pueden ser admitidas como seguras algunas pocas reglas aisladas para el cálculo de cantidades infinitas. El programa, de antemano traido aquí para nuestro paseo no nos permite seguir avanzando por aquellos extraños dominios limítrofes del saber humano.
El lector que nos ha seguido fielmente por los intrincados vericuetos preguntará:, ¿Es que hay en realidad algo infinito?
ALGUNAS IMÁGENES NOTABLEMENTE DIDÁCTICAS DE CAPÍTULOS ANÁLOGOS
La representación del cubo en la cuarta dimensión (tesarct) se obtiene de análoga manera a como se
hace para el cubo tridimensional al proyectarlo sobre el plano bidemensional, es decir conservando
la ortogonalidad que aquí proyectamos sobre el espacio tridimensional X Y Z en vez sobre el X Y
EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS SEGÚN CONDILLAC
Poco antes de mi encuentro con la obra que acabo de comentar había encontrado el libro que había de orientarme de la filosofía a las matemáticas: La obra de un abate del siglo XVIII, Etienne Bonnot de Condillac. Gracias a él entendí qué era el lenguaje algebraico y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales partiendo de la lógica,más concretamente del análisis de ese lenguaje específico de las matemáticas. Sigamos lo que dice Codillac en algunos de los pasajes de su lección XVI que reproduce una conversación entre padre e hijo;
P: El problema es el siguiente: Tengo cierto número de monedas repartidas entre mis dos manos. Si hago pasar una moneda desde la mano derecha a la izquierda tendre tantas en una como en otra mano y si paso una de la izquierda a la derecha, tendré en ésta el doble. Se pregunta: ¿Cuál es el número de monedas que tengo en cada mano
Ya sabes que no se trata de adivinar este número haciendo suposiciones sino que es menester hallarlo razonando, pasando de lo conocido a lo incógnito por un encadenamiento de juicios. Ahora dime tú, como matemático qué harías.
H: Sabiendo que hay dos condiciones dadas o, por mejor decir dos datos,desde louego notaré que para encontrar el número que solicito deberé observa las relaciones en que están los datos y veré que esas relaciones son más o menos conocidas según la mayor o menor sencillez con que se expresen.
P: Pues expresémoslos de este modo, si te parece: El número que contiene la mano derecha cuando se le quita una moneda es igual al que está en a mano izquierda cuando a ésta se le añade uno. Pero este primer dato estaría explicado con demasiadas palabras: Asñi podr`´ia decirse, mas brevemente: El número de la izquierda menos una unidad es el de la derecha mas una unidad.
H. También se podría expresar más brevemente diciendo : La derecha menos una es igual a la izquierda más una.
P. Tienes razón ¿Pero qué utilidad se saca de todo esto, dirán algunos? ¿Qué utilidad? El observar cómo, de traducción en traducción se llega a la expresión más simple del primer dato y el ver que cuando mas se abrevía el razonamiento, tanto más se aproximan las ideas, y que cuánto más próximas están es mas fácil abrazarlas bajo todas las relaciones. Ahora debemos tratar el segundo dato con el msmo estilo del primero, esto es: traducirlo a su mas simple expresión y a ti te toca echar los cimientos, como en el primero.
H. Está muy bien, en virtud del segundo dato del problema, si se pasa una moneda desde la mano izquierda a la derecha, se tendrá el duplo en ésta, luego el número de mi mano izquierda, disminuido en una unidad es la mitad del de mi mano derecha aumentado en una unidad.
.... .... .... ....
P: ... ... Y se podrá decir: La derecha menos uno es igual a la izquierda más uno y la derecha más uno es igual a dos izquierdas menos dos.
.... .... .... .... siguiendo con el análisis llegamos a expresar que:
La derecha es igual a la izquierda más dos. La derecha es igual a dos izquierdas menos tres
La izquierda más dos es igual a dos izquierdas menos tres
Dos mas tres es igual a dos izquierdas menos una izquierda
Esto es: Cinco es igual a una izquierda, con lo que está resuelto el problema supuesto que se ha descubierto que el número de monedas que tengo en la izquierda es cinco y que en las ecuaciones La derecha es igual a la izquierda más dos y la derecha es igual a dos izquierdas menos tres se encuentra que siete es el número que tengo en mi derecha, y que los dos números 5 y 7 satisfacen las condiciones del problema.
Como se vé, la gracia del razonamiento es que llega a resolver el sistema de ecuaciones tan solo mediante razonamiento lógico con lenguaje diario. Eso me posibilitó en su momento entender el lenguaje algebraico. Mi siguiente paso como autodidacta, fue hacerme con los magníficos libros de matemática para el plan de bachillerato entonces vigente, escritos por dos grandes maestros: Rey Pastor y Puig Adam. Hice luego mi bachillerato en academia e Instituto, estudiando por la noche a la salida del trabajo. No fue mérito propio sino la infinita suerte de haberme cruzado con grandes hombre y matemáticos que además eran maestros que sabian enseñar y no solo eso sino enamorarle a uno de su ciencia, para toda la vida.
Mi infinito agradecimiento a quienes me ayudaron tan generosa y desinteresadamente con la lógica y la matemática en aquellos lejanos y difíciles años que recuerdo hoy aquí con nostálgia.
Platón,
Alexander Niklitschek
Etienne Bonnot de Condillac
Julio Rey Pastor
Pedro Puig Adam
Juan Casulleras Regás
Jorge Dou Más de Xexás
