Desarrollos en Serie.Series Funcionales

Teorema de Rolle

Enunciado

Sea y=f(x) 

·        Contínua en    [a,b]

·        Derivable en   (a,b)

·        Cumpliendo     f(a) = f(b)

Se cumple que:

   Demostración

·        Por el terorema de Weirstrasse, f(x) tiene en [a,b]máximo y mínimo absolutos

·        Si ambos se encuentran en los extremos, f(x) toma un valor constante por coincidir máximo y mínimo -caso imagen (A)-

·        Si algún máximo o mínimo se halla en un punto interior al intervalo tal máximo o mínimo es, además de absoluto, relativo luego f’(c)=0  -caso imagen (B)-

Teorema del Valor Medio

Sea y=f(x) 

·        Contínua en    [a,b]

·        Derivable en   (a,b)

·        Y, además,      f(a) ‡ f(b)

Se cumple que:

Demostración

·        Definimos una función auxiliar g(x) tal que:

·        g(x) = f(x) – f(a) – k(x-a)  (1) 

·        Características de la función:

o       g’(x) = f’(x) –k   (2)

o       Si es x=a entonces:

o       g(a) = f(a)-f(a) –k(a-a) =0   (3)

·        Determinamos k para un valor g(b) =0

o       g(b) = f(b) – f(a) – k(b-a) = 0  (4)

o       despejando k, obtenemos

(5)

•       Tenemos una función g(x) que cumple:

                                                          g(x)              continua en [a,b]

                                                    g(x)                     derivable    (a,b)

                   Y además       f(a) = f(b)

• ·        Aplicando Rolle a la ecuación (2) y valor k (5)

o       g’(c) = f’(c) – k=0

Otras formas de expresión del TVM 

     I.            Fórmula de Lagrange de los incrementos finitos

f(b) = f(a) + f’(c) (b-a)

 II.            Si hacemos h = (b-a) por ser c un punto interior es:

           

Obteniendo:

Ejemplo

Sea     f(x) =L(x+24) en el intervalo [3,14]

Hallar el punto interior c en que f(b )=f(a)+f’(c)(b-a)

Solución

f(a) = f(3)  =  L(3+24) = L (27)

f(b) =f(14) = L(14+24) = L(38)

L(38) = L(27) +f’[L(c+24](14-3)

Fórmula de Taylor

Que aceptando el símbolo f⁰⁾(a) =f(a) puede expresarse como sigue:

Demostración

• El desarrollo es posible si es f(x) desarrollable en (a,b) hasta el órden enésimo.

• Elección de la función auxiliar:

• Derivadas sucesivas de g(x)

·       Se determina la constante k haciendo g(b)=0

• g(x) cumple Rolle en el intervalo  [a,b], luego:

Substituyendo k en la fórmula anterior  de Taylor tenemos:

Resultado:

Hemos demostrado la existencia de un punto c

que hace siempre posible la fórmula de Taylor

Series funcionales. Definición


Estableciendo una aplicación entre N₀ y el conjunto de funciones reales f_n se determina una sucesión indefinida de funciones:

f₁(x), f₂x), f₃(x) …, f_n(x), …

De ésta podemos deducir una sucesión de sumas parciales

Llamaremos serie funcional a la expresión:

Como, fijando un valor de x, f_n(x) es un número real, cada valor x determina una serie numérica cuya suma llamaremos S(x):

Campo de Convergencia

Es el conjunto de valores de x, para los que la correspondiente serie numérica es convergente. Esto implicaría que el resto de la serie, R_n(x). 

Tendería a 0 al crecer suficientemente n. Es decir, para cada x del campo de convergencia se debe cumplir que, fijado E>0

Ahora bien, si el conjunto de los p_x está acotado superiormente por un  valor p,  entendiendo por ello que :

Cualquiera que sea la x del campo de convergencia.  En este caso se dice que la serie converge uniformemente.

Criterio de convergencia uniforme (Weirstrass)

Una serie funcional

es uniformemente convergente en el intervalo (a,b) si es que:

 

Siendo

una serie real de términos positivos convergente.

En efecto:

Quedando este p determinado por la serie numérica

lo que quiere decir que no depende de x
Si se cumple el criterio, la serie funcional es además absolutamente convergente.

Teoremas

 “Si la serie S fn(x) es uniformemente convergente y las f_n(x), son contínuas en el intervalo [a,b] la suma de la serie S (x), también es contínua en dicho intervalo”

En efecto, siendo S (x)= s_n (x) + R_n (x),resulta:

                                      1                2                2      

                 

Puesto que :

 1    La suma de funciones contínuas es contínua

      2    Los restos también tienden a cero

¨      “Si  S fn (x) es convergente las fn(x), son derivables y la serie derivada S f'n(x)es también convergente en un intervalo [a,h] la suma de la serie derivada es la derivada de la suma S(x) de la serie dada”

Series Enteras

Recibe el nombre de serie entera o potencial toda serie de la forma:

Teorema de Abel
Si una serie entera converge en x_0, también converge para todo x tal que: |x|  <  |x0|

Demostración:

• A partir de un 

• se cumple

• Luego,

• tiene por mayorante

• que converge para

• para una serie geométrica de razón

• Luego 

• para valores

• es absolutamente convergente y, por tanto simplemente convergente como se quería probar.

Corolario

El campo de convergencia de las series enteras es un entorno simétrico de cero cuyo radio es el extremo superior del campo de convergencia. 
Si R es el radio (-R, R) es el campo

Criterios para la determinación de R

Criterio de D’Alembert

O bien si es

Otenemos:

Criterio de Cauchy

De donde obtenemos criterio para el radio de convergencia buscado

Aplicaciones

1. Calcular el radio y campo de convergencia para una serie de término general:

Solución

Aplicamos el criterio de D’Alembert:

Luego es  R=1  y el  Campo de Convergencia = (-1,1)

2  El término general de la serie binómica 

Cálcular el radio de convergencia R de la serie

Solución

R=1

3       Calcular el radio de la serie de término general nⁿxⁿ por  Cauchy

R=0

      Propiedades de las series enteras

1. Toda Sa_nx_n es uniformemente convergente en el campo definido por su radio de convergencia R

Luego es:

           
Que cumple el teorema de convergencia uniforme de Weirstrasse puesto que  |a_nxⁿ| es término general de una serie real de términos positivos convergente

2. La suma de una S a_nx_n, es función contínua en el campo de convergencia: Considerando

Sa_nx_n                uniformemente convergente

f (a_nx_n)          contínua en el campo de convergencia

Se cumplen las hipótesis del teorema 1 y, por tanto, la tesis.

3. La serie derivada de una entera tiene el mismo radio de convergencia que ésta.

Si es S a_nxⁿ su derivada es: S na_nx^n-1 y su radio de convergencia es:

Representación de funciones por series. Series de Taylor

Representar una función f(x) mediante una serie es hallar una tal que su suma coincida con la función en el campo de convergencia de la serie:

Supuesto que f(x)sea representada por la serie entera (Serie de Taylor)  S a_nxⁿ ha de ser convergente en  (-R,R).

Para x=0

Luego finalmente, tenemos que es:

De donde se desprende que:

• El desarrollo de una serie entera, si existe, es único, denominandose Serie de Taylor y es una prolongación indefinida de la serie de Mc Laurin en la que desaparece el término complementario.

Condiciones (necesarias pero no suficientes) para que f(x) tenga representación en serie de Taylor

1. f(x) debe ser derivable indefinidamente
2. R debe cumplir que sea R distinto de 0
3. El resto de la serie debe coincidir con el término complementario de Lagrange

Pues entonces, el desarrollo en serie de Taylor se identifica con la fórmula de Mc Laurin y, por tanto, con la función.

Pero como la convergencia exige, dentro del campo, que sea:

Es preciso que se cumpla la condición cuarta que sigue:¡

4. La derivada enésima debe ser cero en el campo de convergencia

En cuyo caso, se cumple:

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