lunes, 18 de diciembre de 2017

OTRO LIBRO EXCEPCIONAL SOBRE LA HISTORIA Y FUNDAMENTACIÓN DEL CÁLCULO

    Esta entrada es continuación de la última publicada aunque ciertamente no había pensado pensado y, por tanto menos aún planeado llevarla a cabo. Ha sido una sorpresa haber llegado a toparme con ese libro. En realidad buscaba novelas sobre Cantor y su aventura matemática cuando, después de bajarme algunas, me tope con ese libro excepcional, enteramente dedicado a la historia de los fundamentos del cálculo desde los inicios de Eudoxo y Euclides, los fundadores del siglo XVII Newton y Leibnitz y centrandose en la fundamentación que, iniciada en el siglo XVIII no llegó a completarse hasta finales del siglo XiX.
    Cuando armado con las armas intelectuales que me brindaron  en mi adolescencia los libros de Alexander Niklitschek y los matemáticos Rey Pastor y Puig Adamn,  que me habían ganado  por capacidad de ensoñación haciendo que encontrara en la ciencia lo que antes solo había encontrado en la música; fue seguida, durante mi bachillerato por la experiencia viva de  mis inolvidables profesores  , los doctores Joaquín Casulleras  y Jorge Dou  ,que supieron cautivarme con la habilidad, mezcla de rigor y pragmatismo, de su concepto de  matemática moderna, centrado en la construcción de los conjuntos de números, natural, entero, racional y real y la geometría  que, partiendo  de las construcciones euclidianas con regla y compás, llegaba a las estructuras de tranformaciones geométricas, cuando digo, emprendí ya en la universidad mi estudio formal de la matemática confieso que me aburrieron sobre manera los conceptos de integral de Cauchy - Riemann, Stieltjes. y los conceptos de límite rigurosos. Ello hizo que frecuentara mas la facultad de ingeniería industrial,, cercana a la mía de económicas, en busca de  textos más centrados en los problemas que en la teoría. Solo los grandes problemas tenían la capacidad de hacerme soñar. La teoría matemática, para mi sorpresa e íntima  decepción, me aburrian soberanamente y, lo que es mas grave, no me daban el progreso que buscaba. Era como si, por el contrario, me
hubiesen frenado en seco en mi avance. De aquel "impasse" salí buscando academias donde encontré profesores  capaces de hacer vivir la materia pero, por razón misma de su objetivo principal, que aprobasemos la asignatura, se dedicaban en cuerpo y alma a despertar nuestra capacidad de analizar y resolver problemas, pasando en parte, no desde luego totalmente, por encima de los fundamentos, Quiero rendir aquí mi tributo de admiración y reconocimiento al por desgracia prematuramente fallacido Jean Pierre, maravilloso profesor de cálculo y ecuaciones diferenciales (1978)  y al profesor. Marull, con quien estudié a fondo y comprendí por fin la econometría en el año 1981. Veinte  años después, ya en 2002, lo busqué otra vez  para hacer un cursillo del nuevo paradigma que cambió por entero la asignatura por la que tantos de mis compañeros, no llegaron a tener el título de licenciado: Las series temporales, metodología Box-Jenkins. Una pura delicia. 

    Pero se impone volver al tema central, tiempo habrá de comentar mi entrada en la estadística y bioestadística de la mano de admirados profesores (doctor Cuadras Avellana y su maravilloso equipo, mis tutores de doctorado Doctores. Fortiana y Sánchez Pla) capítulo aparte que trataré en próximas entradas.

   Volvamos al joven,  ya no tan joven, treintaañero, pero aun aturullado estudiante que de día ejercía como director financiero y de noche luchaba por hacerse con conceptos con los que tantos años llevaba inmerso en una maravillosa aventura intelectual que había empezado con tan solo once años.

   Yo quería volar y las clases plúmbeas que nos daba un  estudiante, con buena voluntad pero pocas tablas, (porque el catedrático, del que no diré nombre,  no acudía desde hacía años a dar clase, ni tan siquiera de día) me tenían literalmente con la moral por los suelos. Pese a ello, a fuer de justo,  acabo de mirar mis apuntes encuadernados y trabajamos lo nuestro. La demostración de la integral de Cauchy-Riemann tiene nueve folios y es rigurosa, pero aburrida. Así que,  igual que una compañera particularmente voluntariosa, que me siguió en eso, me apunté a una academia barcelonesa (La Estudec) en un cursillo de verano, de junio a septiembre. Las clases, de siete a diez, iban seguidas, conforme se acercaban los exámenes,  de "courses de force" hasta las dos de la madrugada resolviendo problemas de ecuaciones diferenciales, después de una pausa para cenar en un restaurante cercano. Realmente aprendimos, porque fuimos muy bien enseñados por maestros de verdad, en el mejor sentido de la palabra. que además de saber, sabían enseñar, no sólo matemáticas, también llevarlas tan y tan internalizadas que sería muy dificil no vencer. 

 DE ZENON DE ELEA A CANTOR.

     El cálculo estuvo sin fundamentos sólidos durante muchísimo tiempo a partir de que los fundadores del mismo, Newton y Leibnitz pusieran sus basesen el siglo XVII . Detrás de la formulación rigurosa finalmente culminada en el siglo XIX por Weirstrasse y Cantor, estaba la idea de infinitos e infinitésimos abordada por Zenon de Eleza (siglo V a.C.) en sus aporías y  el método de ehaustión desarrollado por Eudoxo y Arquímedes (siglo III a.C.).
    El análisis de Aristóteles  de dichas aporías en su libro VI de La Física supuso un intervalo de tiempo  considerable que condujo a  Galileo a escribir sus "Dos Nuevas Ciencias"

     Es difícil  que logre expresar ni que sea mínimamente la belleza de este libro. Muy difícil comprender correcta, justa  y desapasionadamente los gigantes del pensamiento que nos han precedido y sus aportaciones al estudio del infinito.

Un ejemplo, para ilustrarlo:  Me viene a la mente el artículo de Ortega y Gasset de 1937 titulado: Bronca en la Física, releido nuevamente después de más de 54 años, muy divertido por cierto, que cuenta como el día ocho de mayo de  aquel año se publicó un artículo en la revista Nature en el que el doctor Dingler llamaba "traidores" a la plana mayor de los físicos ingleses (Edington, Milney, Dirac)  por pasarse al "aristotelismo" traicionando el espíritu de Galileo y cómo , a su vez, el doctor Milney  le respondió con gracia llamándole a él "gitano".

"Desde hace años se publican con progresiva frecuencia libros de cuestiones físicas que pertenecen a un nuevo tipo de producción intelectual. En estos libros se determina la estructura del «universo» y esto se hacea priori, en pura deducción matemática. Partiendo de ciertas hipótesis mínimas a que se da forma de puros axiomas, se constituye un cuerpo de doctrina estrictamente racional, en el cual aparecen las leyes físicas conocidas como teoremas derivados de aquellos axiomas y, lo que es más sorprendente aún, se obtienen, por simple inferencia de la lógica matemática, nuevas leyes. El experimento, la inducción no aparecen por parte alguna" .

 Hablar del «universo» y hablar a priori eran, precisamente, las dos cosas que venían haciendo desde siglos los aristotélicos contra los cuales luchó Galileo. En opinión del doctor Dingle el aristotelismo consiste en analizar  sin más que la lógica, nuestros conceptos, sacándose  el mundo de la cabeza. 
En cambio, Galileo cayó en la cuenta de que la naturaleza es independiente del hombre.  por eso, si quiere averiguar algo de ella debe  observarla y contentarse con lo que  descubra. 
 El doctor Dingler  no puede soportar que , Eddington, afirme:  «En todo el sistema de las leyes físicas no hay ninguna que no pueda ser inequívocamente deducida de consideraciones epistemológicas. Una inteligencia que no supiese nada de nuestro universo, pero que supiese cuál es el sistema intelectual mediante el cual la mente humana se interpreta a sí misma el contenido de su experiencia sensible, sería capaz dé adquirir todo el conocimiento físico que nosotros hemos adquirido a fuerza de experimentos».
Dingler cree qye "Aristotelismo es «la doctrina según la cual la naturaleza es la manifestación visible de principios generales que la mente humana conoce sin necesidad de percepción sensible».
Pero Ortega objeta que  Aristóteles y sus fieles no admiten nada en el intelecto que no haya estado antes en los sentidos. Descartes, pelea a muerte con Aristóteles y el escolasticismo por sensualistas y desde hace trescientos años, se discute  eso que el Señor Dingler da como cosa libre de posible error. Desde tiempos de  Galileo, se discute si la ciencia es observación o algo más.

Las objeciones de los aristotélicos a Galileo eran por no ajustarse estrictamente a lo observado, es decir,  al experimento. En París y en Padua se hacían experimentos cien años antes que en Padua estudiase Galileo.
Eddington, Milme, Wittrow, Wheele, Robertson,  extrema vanguardia de la física se les convertía en algo así como filosofía. La respuesta que da Eddingtones «No hay nada en todo el sistema de las leyes físicas que no pueda ser deducido inequívocamente de consideraciones epistemológicas». . Dingler usa literalmente la palabra «traidores». Milne casi llama a Dingler «gitano». .

     Milne defiende  el procedimiento que en sus investigaciones ha seguido. La física padece una dualidad  irracional. De un lado nos dice qué es lo que hay, construye una realidad pura Luego,, investiga experimentalmente cómo se comporta esa realidad.
Dice Milne: «es una cosa sorprendente que la eliminación de todo auxilio empírico, incluyendo todo apoyo en leyes cuantitativas de la física, pueda ser llevada tan lejos como, en efecto, acontece, no obstante la imperfección del estado presente de la teoría»

     Según Dingler, sólo la observación nos permite descubrir las leyes de la naturaleza. Según Milne, se puede llegar a ellas a priori y la observación reduce su papel a confirmarlas.

     Termina, Milne afirmando: "En la física hay también un aspecto griego y un aspecto egipcio. El señor Dingler se queda con el aspecto egyptian", En inglés la palabra suena a algo así como «gitano».

LAS PARADOJAS (APORÍAS) DE ZENÓN DE ELEA

El argumento básico de Zenón contra la realidad del movimiento se conoce como dicotomía 

A) La dicotomía.

En palabras de Aristóteles:
 Fís. 1013, 4-16: "El primer argumento es éste. Si existe el movimiento, es necesario que el móvil recorra infinitas magnitudes en un tiempo limitado. Como esto es imposible, el movimiento no existe. Zenón demuestra esta hipótesis a partir de la distancia que recorre el móvil. Como toda distancia es divisible hasta el infinito, es necesario que el móvil alcance primero la mitad de la distancia que debe recorrer, y luego la totalidad. Pero antes de recorrer la mitad del todo, debe recorrer la mitad de ésta; y, previamente, la mitad de esta mitad. Si estas mitades son infinitas, porque es posible obtener la mitad de toda mitad ya obtenida, es imposible recorrer infinitas magnitudes en un tiempo limitado. Para Zenón esto era evidente (Aristóteles evocó antes este argumento, cuando afirmó que es imposible recorrer magnitudes infinitas en un tiempo limitado, así como estar en contacto con la infinitud). Toda magnitud, entonces, tiene infinitas divisiones, y es imposible recorrer una magnitud dada en un tiempo limitado"
Eso es: en esquema lo siguiente:
(1)Para cruzar el intervalo AB primero tiene que cruzar todos los subintervalos , siendo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
(2)Hay una cantidad infinita de tales subintervalos.
(3)Es imposible cruzar una cantidad infinita de subintervalos en una cantidad finita de tiempo.
(4)Por lo tanto, es imposible cruzar AB.
B) Aquiles.
El segundo argumento es llamado «Aquiles». Es éste: el corredor más lento no será nunca alcanzado por el más rápido, pues es necesario que el perseguidor llegue primero al lugar de donde partió el que huye, de tal modo que el más lento estará siempre nuevamente un poco más adelante. Este argumento es igual que el de la dicotomía y sólo se diferencia de éste en que la magnitud que se agrega no se divide en dos.
Fís. 1013, 31 - 1014, 3: Este argumento de la división al infinito fue retomado de un modo diferente. Vendría a ser así: si el movimiento existe, lo más lento nunca será alcanzado por lo más rápido. Pero, como esto es imposible, el movimiento no existe.

Fís. 1014, 9-1015, 2: El argumento es llamado «Aquiles» porque en él se ocupa de Aquiles, quien, según dice el argumento, no puede dar alcance a la tortuga que persigue. Pues es necesario que el perseguidor, antes de alcanzar la meta, llegue primero al lugar del cual partió el que huye. Pero cuando el perseguidor llega a este punto, el que huye avanzó una cierta distancia, si bien ésta es menor que la que recorrió el perseguidor, que es más veloz. Pero avanzó: no se estuvo quieto. Y nuevamente en el tiempo en que el perseguidor alcanza el punto al que llegó el que huye, éste avanzó algo, si bien menos que lo que se había movido antes, pues es más lento que el perseguidor. Y así, siempre que el perseguidor avanza hasta donde había llegado el que huye, que es más lento, éste ha avanzado algo. Aunque el recorrido es cada vez menor, sin embargo algo recorre, pues está siempre en movimiento. Por el hecho de suponer distancias cada vez menores hasta el infinito —a causa de la división de las magnitudes hasta el infinito— no sólo Héctor no será alcanzado por Aquiles; tampoco lo será una tortuga. Supóngase que se trata de un estadio. Una tortuga avanza a partir de la mitad del estadio, y Aquiles avanza diez veces más en el mismo tiempo. Aquiles, desde el comienzo del estadio, inicia la persecución de la tortuga, y avanza medio estadio, de modo que llega a la mitad del mismo, de donde partió la tortuga. Pero ésta avanzó ya la décima parte de la mitad restante del estadio. Aquiles recorre entonces la décima parte de esta mitad del estadio; pero la tortuga avanzó la décima parte de la décima parte de la mitad restante. Y mientras quede una décima parte de cualquier distancia, y ella tenga a su vez una décima parte, la tortuga estará siempre delante de Aquiles, y jamás ninguno de los dos podrá recorrer la totalidad del estadio

C) La flecha


ARIST., Fís. VI 9, 239b: El tercer argumento es el que se expone ahora: la flecha arrojada está inmóvil. Esto se deduce de suponer que el tiempo está compuesto de instantes; pero si no se admite
esto, no se inferirá la conclusión.
ARIST.,Fís. 1011, 19-26: El argumento de Zenón que proclama que todo, cuando está en algo igual a sí mismo, está en movimiento o en reposo, y que nada que esté en el instante se mueve, y que todo lo que se mueve está siempre, en cada instante, en algo igual a sí mismo, parece razonar así: el proyectil arrojado está en todo instante en algo igual a sí mismo, y así durante todo el tiempo. Pero lo que está en un instante igual a sí mismo, no se mueve, pues nada está en movimiento en el instante; y lo que no se mueve, está en reposo, pues todo está en movimiento o en reposo. Por ello, el proyectil arrojado, mientras se encuentra arrojado, está en reposo durante todo el tiempo en que dura su trayecto.
ARIST., Fís. 1015, 29-31: Si es necesario que todo esté en movimiento o en reposo, mientras que lo que se mueve está siempre en algo igual a sí mismo, el proyectil arrojado está inmóvil en su trayecto. En efecto: lo que está siempre en algo igual a sí mismo, no se mueve, sino que está en reposo.
                    
                      ES DECIR, RESUMIENDO ESQUEMATICAMENTE ZENON AFIRMA QUE:
(1                               1)En todos y cada uno de los instantes, la flecha está en reposo.
(2                               2)Cualquier intervalo de tiempo está compuesto de instantes.
(3                               3)Por lo tanto, durante cualquier intervalo de tiempo la flecha no se está moviendo.

D) El Estadio

ARIST., Fís. VI 9, 239b: <a> El cuarto argumento es acerca de unos cuerpos iguales que, en un estadio, se mueven en direcciones opuestas frente a otros cuerpos iguales, algunos desde el fin del estadio y otros desde la mitad, a igual velocidad. <b> En este argumento ocurre que se llega a creer que la mitad del tiempo es igual al doble del mismo. <c> El falso razonamiento[42] consiste en que se supone que un cuerpo de igual tamaño es capaz de pasar a la misma velocidad y en el mismo tiempo tanto frente a un cuerpo en movimiento como frente a un cuerpo en reposo. <d> Supóngase unos cuerpos AA, iguales y en reposo; otros cuerpos BB, iguales en número y en tamaño a aquéllos, que comienzan a moverse desde el punto medio de los A; y otros cuerpos CC, también iguales en número y en tamaño a los anteriores, y que parten desde el final del estadio a la misma velocidad que B.; Ocurre que el primero de los B alcanza al último de los C, y, al mismo tiempo, el primero de los C al último de los B, moviéndose los unos frente a los otros.; También el grupo C pasó delante de todos los B, pero B pasó sólo delante de la mitad de los A, de modo tal que el tiempo requerido fue sólo la mitad. Pero el tiempo empleado por cada uno para pasar delante de cada uno de los otros, fue igual; Sucede entonces que al mismo tiempo el primer B pasó delante de todos los C, pues el primer C y el primer B estarán simultáneamente en los extremos opuestos —ya que, como dice, empleó el mismo tiempo para pasar delante de los B que para hacerlo delante de los A— en razón de que ambos necesitaron el mismo tiempo para estar frente a los A.
ARIST Fís. 1016, 9 - 1019, 14: <a> El cuarto de los argumentos de Zenón acerca del movimiento, que concluía con la imposibilidad de su existencia, era de esta índole:  Si el movimiento existe, cuerpos del mismo tamaño y que se desplazan a igual velocidad, no llevarán a cabo el mismo movimiento en el mismo tiempo, sino que el movimiento de unos será el doble respecto del movimiento de otros. Esto es imposible, y también es imposible lo que se deduce de esto: que el mismo tiempo es simultáneamente el doble y la mitad, Para demostrarlo, supone Zenón que hay acuerdo en lo siguiente: los cuerpos, que son iguales y que se mueven a igual velocidad, recorren la misma distancia en el mismo tiempo. Y, además, si de estos cuerpos iguales y de igual velocidad, uno avanzó la mitad y el otro el doble, ello significa que el primero se movió solamente durante la mitad del tiempo, y el segundo durante el doble del tiempo, Una vez admitido esto, supone un estadio D-E, y varios cuerpos A, por ejemplo, cuatro —o algún otro número par, pues el total de estos cuerpos iguales (o «cubos», como los llama Eudemo) deberá dividirse luego por la mitad—, ubicados en reposo en la parte media del estadio. El primero de estos cuerpos en reposo es el que está más próximo al comienzo del estadio <punto D>, y el último, el que está más próximo a E. Supone que hay también otros cuatro cuerpos o cubos B, iguales en tamaño y en número a los que están en reposo, ubicados de modo tal que empiezan en el comienzo del estadio y terminan en la parte media de los cuerpos A, y que se mueven hacia el fin del estadio <punto E>. Dice que el primero de los cuerpos B es el que está frente al punto medio de los A, pues es el que se moverá primero en dirección a E. El número de los cuerpos debe ser par, para poder dividirse por la mitad, pues, como ya veremos, así lo requiere el argumento. Por esta razón él coloca al primer B en el punto medio de los A en reposo; y luego supone también unos cuerpos C, que se mueven en dirección opuesta a los B, y que tienen el mismo número y tamaño que éstos y que los A. Así como los B se mueven desde el medio del estadio —donde está también el punto medio de los A— hasta el extremo E, los C se mueven desde este extremo E hasta el comienzo D del estadio, de modo tal que evidentemente el primero de los cuatro C es el que más se acerca al punto D, hacia donde se mueven todos los C; de este modo, el primer C está enfrentado también al primer B. Supuesta esta posición en un comienzo, es decir, los A, que permanecen quietos; los B que se mueven desde la parte media de los A —y del estadio— hacia el extremo E; y los C desde el extremo E del estadio hacia el comienzo (y no «desde el último B», como según parece, se vio obligado a sostener Alejandro por encontrar la expresión en algunas transcripciones, según lo cual, lo que él llamó antes «primer B» es llamado ahora «último»), ocurre que cuando se mueven unos frente a otros a igual velocidad, llegarán el primer B y el primer C al fin de su movimiento de modo tal que el primero de cada grupo estará frente al último del otro. Como desde un comienzo el primer C estaba colocado enfrentado al primer B, al tener ambos movimientos opuestos a la misma velocidad, y al enfrentarse recíprocamente en su trayecto, el primer B estará finalmente frente al último C, y el primer C frente al último B. Y esto vendría a ser equivalente a afirmar que el primer B y el primer C están simultáneamente frente a sus opuestos, como resultado de haberse movido los unos frente a los otros: el movimiento de unos frente a otros puso a cada uno frente al último del otro.<f> Pero ocurre que mientras que el C —dice, refiriéndose evidentemente al primero— ha pasado frente a todos los A, el B pasó [sólo] frente a la mitad de los A. Es evidente entonces que el B, que comenzó en el punto medio de los A, se movió frente a dos A, es decir, frente a la mitad de los mismos, sea cual fuere su número, que es par; y que el C recorrió el doble de cuerpos que B, pues el primer B tuvo su comienzo [sólo] en el punto medio de los A. Y en tanto B se movió frente a los dos últimos A, que estaban en reposo, el primer C, en dirección opuesta a B, sobrepasó cuatro B, pues los dos movimientos opuestos duplican la distancia única que recorre B frente a los inmóviles A. Esto es evidente.  Pero ¿de qué modo pasó C frente a todos los A? Pues no se movió frente a éstos, sino frente a los B, ni comenzó a moverse desde el principio de los A, sino desde el principio de los B, que estaban en el punto medio de los A. Lo que ocurre es que los B son iguales a los A. Por ello, en el tiempo en que C se movió frente a los B, debió de pasar frente a igual número de A que de B. el razonamiento falso reside en que Zenón supuso, sin restricción alguna, cuerpos en movimiento, al mismo tiempo, frente a otros cuerpos en movimiento, sin tener en cuenta que algunos de estos cuerpos iguales se mueven en direcciones opuestas, y que otros están en reposo. También supuso que si bien el tiempo en que C pasa frente a los B y a los A es el mismo, en ese tiempo el primer B pasa frente a dos A, mientras que el C lo hace frente a cuatro B y a cuatro A, de lo cual resulta que, aunque B tenga la misma velocidad que C, avanza sólo la mitad en el mismo tiempo en que se mueve C, lo cual es contrario a lo supuesto y a la evidencia, pues los cuerpos que se mueven a igual velocidad avanzan la misma distancia en el mismo tiempo, siempre que estén en una relación homogénea y ambos se muevan frente a cuerpos en reposo, o ambos se muevan frente a cuerpos que también están en movimiento, pero no cuando algunos, como los B, lo hacen frente a cuerpos que están en reposo, y otros, como los C, frente a cuerpos que se mueven en dirección opuesta. Además, el tiempo en que se mueve B frente a los dos A debe ser la mitad del tiempo en que se mueve C frente a los cuatro B si los A son iguales a los B, y B y C tienen la misma velocidad. <i> Pero parece que el tiempo en que B se mueve frente a los dos A y aquel en el cual C lo hace frente a los cuatro B, es exactamente el mismo. Ocurrirá entonces que la misma magnitud será el doble y la mitad, si, siendo iguales los B y los A, en el mismo tiempo los cuerpos B pasan frente a dos A, y los C, a igual velocidad, frente a cuatro B. Y el mismo tiempo es también el doble y la mitad; la mitad, porque el tiempo en que B pasó frente a dos A es la mitad del que empleó C para pasar frente a cuatro B, que es, no obstante, el mismo. El hecho de que cada uno tarde el mismo tiempo en pasar frente a cada uno de los otros mostraría que tanto B como C, que tienen la misma velocidad, tardan el mismo tiempo en pasar frente a cada uno de los B y de los A, pero si el tiempo es el mismo, es evidente que el tiempo en el cual C pasó frente a cuatro B es el doble, y aquel en el cual B pasa frente a dos A, es la mitad, o que fue mayor el tiempo en que C pasa frente a cuatro A que el que puso B para pasar, a la misma velocidad, a dos A. Pues se había dicho que en el tiempo en que B pasa frente a C, pasa también frente a A. Después de decir que C pasó frente a todos los A porque pasó frente a todos los B (agregando luego estos despropósitos: que la mitad de una distancia es igual al doble de ella misma, y la mitad del tiempo es igual al doble del tiempo) afirma que simultáneamente ocurre que los B pasaron frente a todos los C, como los C frente a todos los B

 

 

DE ZENÓN (s IV a C.) A CANTOR (s. XIX) Y CRÍTICA POSTERIOR (S.XX Y XXI) LA FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS Y LA MATEMÁTICA TRANSFINITA. 

     Una de lasauténticas dificultades contextuales que rodeaban la dicotomía era que los griegos no tenían el cero en sus matemáticas. Al no haber una cantidad reconocida (el cero) hacia donde pueda converger la sucesión convergente 1/2, 1/4, 1/8 ...(Fig 1) las matemáticas griegas carecían de equipamiento conceptual para comprender la convergencia, límites, sumas parciales, etc.

     Por su parte, Aristóteles introdujo una idea que dominaría el pensamiento de los siguientes dos mil años . Rechazaba el "infinito-actual" proponiendo en su lugar un "iinfinito-potencial". Su idea era que aunque no seamos capaces de concebir los números Naturales en su totalidad, estos son potencialmente iinfinitos,  en el sentido de que dada una colecci on finita de ellos, siempre se puede encontrar una colección finita  mayor. Unos dos mil años más  tarde, Cantor dijo que la distinción de Aristóteles era puramente lingüística. En  realidad el infinito potencial sólo tiene una realidad prestada, hasta el punto de que el concepto de infinito potencial siempre apunta a un concepto l ógico de infinito actual, de cuya existencia depende. Algunos autores, como Arquímedes, trabajaron mucho con esta idea, utilizando el método de exhaución ideado por Eudoxo. Pero Arquímedes reconoce en "El Método"  que estos razonamientos no son verdaderas demostraciones matemáticas.

     Santo Tománs de Aquino, en su Summa Theologica, introdujo un argumento que había de llamar la atención de Cantor seis siglos mas tarde, al punto de citarlo en su  "Mitteillungen zur Lehre vom Transfiniten": donde lo califica de única objección realmente significativa en toda la historia a la existencia de un infinito real.


     "La existencia de una multitud infinita real es imposible. Pues cualquier conjunto de cosas que uno considere tiene que ser un conjun to específico. Y los conjuntos de cosas están especificados por el número de cosas en ellos. Ahora, ningún  número es infinito, pues el número resulta de contar a lo largo de un conjunto en unidades. Así, ningún conjunto de cosas puede ser iherentemente ilimitado, ni puede ocurrir que sea ilimitado"  (Summa Theologiae. I.a. 7.4 Traducción de Rucker Infinite the Mind, pág 52)

La importancia del argumento es que trata el i9nfinito en forma de conjuntos de cosas que es lo que iban a hacer luego Cantor y Dedekind seis siglos mas tarde y la tercera frase es casi idéntica a la manera como Cantor definirá el cardinal de un conjunto


     El primero en enfrentarse de verdad con el infinito fué Garlileo Galilei. con las cantidades infinitamente pequñas al estudiar el problema de las dos ruedas, proponiendo convertir la menor en la mayor añadiendo una cantidad infinita de incrementos infinitamente pequeños; los indivisibles, semilla de los infinitesimales. En sus Dos Nuevas Ciencias anticipa alguno de los descubrimientos de Cantor sobre la peculiar aritmética de las cantidades infinitas, es decir que no todos los infinitos tienen el mismo tamaño. anticipándose a Kant al atribuir lkas paradojas del inifnito a las arraigadas creencias de nuestras mentes finitas, no a cualquier realidad exterior a la mente.


     Para tratar con cantidades infitamente grandes, establece por vez primera la biyección, (concepto que aparecería mucho más tarde) entre los números naturales y los cuadrados perfectos, concluyendo que no puede considerarse que dos cantidades infinitas esten relacionadas por igualdad o desigualdad. En esta época John Wallis introdujo en símbolo de infinito actual.

     Decadas más tarde de surgir los indivisibles, Newton y Leibnitz desarrollaron de forma paralela dos versiones del cálculo infinitesimal. Aun cuando Newton lo desarrolló con anterioridad no pudo publicarlo. Poco después Leibnitz publico sus desarrollos y Newton lo acusó de plagio. La obra de Newton no se publicó hasta dos décadas después de su muerte.

  . Newton hablaba de  "incrementos evanescentes" mientras que Leibnitz creó la simbología que hoy conocemos  (dx y el simbolo de integral) y la palabra función Pese a su efectividad, pues su grado de hiperabstracción funcionaba increiblemente bien en el mundo real,(astronomía, mecánica, ingiería, geografía, carpintería metalurgia, química, hidrostática, óptica y un largo etcétera)   el cálculo, privado de fundamentación seguía sujeto a las mismas paradojas y contradicciones. Su fundamentación rigurosa fue lenta y llegó hasta el siglo XIX de la mano de Weierstrass. 

     
Cauchy en 1901
A principios del siglo XIX el cuarteto de matemáticos compuesto por Bolzano, Cauchy, Abel y Dirichlet fueron pioneros del Análisis riguroso. El libro de Cauchy "Cours d'Analyse" de 1821 fue libro de texto en Europa durante los 150 años siguientes. Define los infinitesimales de forma rigurosa mediante el concepto de límite. Bolzano fue el primero en definir una función contínua no diferenciable (sin derivada) Como la mayoría de matemáticos religiosos, de Pitágoras a Gödel, Bolzano cree que las matemáticas son el lenguaje de Dios  Fueron Bolzano y Cuachy quienes hicieron el primer trabajo destacado sobre condiciones de convergencia. Aunque gran parte del trabajo de Cauchy era sobreseries de  funciones, optó por definir límite en términos de variables y no de funciones. Dirichlet dará la definición de función que se usa todavía en las matemáticas modernas: "y es una función de x cuando a cada valor de x en un intervalo dado le corresponde un único valor de y". En 1854 en artículo fundacional Riemann resuelve el problema de la convergencia general de las series de Fourier. Este punto resulta crucial para la fundamentación del análisis. El siguiente paso lo dará Weirestrass.

Las Nuevas Geometrías. Los logros de Cantor.  Matemática Transfinita

    
Cantor
Las innovaciones de Dedekind y de Cantor surgieron, más o menos del mismo modo que el cálculo, como maneras de tratar ciertos problemas que se habían hecho tan urgentes que las matemáticas no iban a poder avanzar sin afrontarlos. Un ejemplo podría ser el razonamiento erróneo del enorme matemático  Cauchy, formalizador del cálculo,  al sostener que la suma de una serie de funciones continuas converge en todas partes de un cierto intervalo hacia la función C ésta es contínua en este intervalo.

     Hacia 1820 surgen las geometrías no euclidianas basadas en el descubrimiento de que el quinto  axioma de Euclides, (Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a la misma) era prescindible, lo que hace que la geometría deje de ser considerada válida para cualquier tipo de fundamento,  precisamente cuando se está formalizando el análisis con ella mediante, entre otros, con el concepto de lìmite.     Precisamente en 1820, cuando Cauchy, cambiando de criterio, afirma en su Cours d'Analyse "Sería un serio error pensar que uno solo puede hallar la certidumbre en demostraciones geométricas o en el testimonio de los sentidos" Estaba naciendo la idea Weiwrstressiana de fundamentar el análisis artimética y no geométricamente.

    Pero había cierto lio en los números negativos. Euler estaba convencido de que eran mayores que infinito   a la derecha de la recta númerica y aún en 1840 De Morgan sostenía que los números negativos eran tan "imaginarios" como "i". Los irracionales aun no estaban definidos.
 
Weierstrass

En palabras del historiador I. Grattan-Guinnes ("From the Calculus to Set  Theory", pag 132) "La historia del análisis matemática durante el último tercio  del sigo XIX es, en gran medida, la de los matemáticos aplicando técnicas weierstrassianas a problemas riemnianos" La verdadera inspiración de esas técnicas no es de Fourier ni de Riemann sino de Niels Henrik Abel, específicamente una innovación llamada funciones elípticas obtenida hacia 18255 a partir de las integrales elípticas.

El acierto de Weierstrass fue hallar un substituto riguroso totalmente aritmético del "decrecer indefinidamente" y redefine con mayhor rigor el concepto de continuidad de una función en términos de los números épsilón y delta de la forma que conocemos hoy como sigue:
 
Aun cuando no sea nada académico me voy a tomar la libertad de recordar a mi buen y añorado padre. Un autodidacta increible que, en este reciso momento habría dicho, como solía  que, por fin, se resuelvió de verdad la aporía de Zenón y es que Weirstrass, con su definición ha terminado "dándole sopas con honda" jajaja.

Este artículo de divulgación sin pretensión alguna, me está quedando demasiado largo, Emplazo al amable lector a leer una segunda parte dedicada a Cantor en un próximo post, a la vez que pido disculpas por la excesiva extensión de éste.

Bibliografía:
  1. David Forster Wallace: "Tódo y Más" Una breve historia del infinito.D (edición elctrónica 01.09.2015)
  2. Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. Un eterno y grácil Bucle (Metatemas 14. . Libros para pensar la ciencia. Edición electrónica). Este libro es el mejor hallado hasta la fecha con un formato pdf que permite una lectora óptima exactamente igual de cómoda que si fuese epub o mobi. Hasta el momento no he logrado aclarar cómo se ha conseguido
  3. José Ortega y Gasset: Obras Completas, en especial el tomo V (edición electrónica 25.11.2017)
  4. Platón: Diálogos (edición electrónica 17.10.2015)
  5. Los Filósofos Presocráticos, en especial el tomo II (edición electrónica 01.05.2017)
  6. Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo: Análisis Matemático. (Editorial Kapelusz . Buenos Aires 1960)
  7. Tomás Apostol: "Cálculus" Editorial Reverté, S.A. . Barcelona 1984
  8. Joan Casulleras Regás. Matemáticas curso V, VI y Preuniversitario plan 1957. Editorial Anaya, Barcelona
  9. Rey Pastor - Puig Adam: Matemáticas curso IV Bachillerato plan de 1957. Biblioteca Matemáticas, Madrid 1967
  10. Apuntes de Análisis matemático UB  octubre 1977 a junio del año 1978
  11. Apuntes de Análisis Matemático Academia Contec julio-sepiembre de 1978
  12. Egmont Colerus. "Desde el punto a la cuarta dimensión" Una geometrtía para todos. Editorial Labor, S.A. Barcelona, 1948
  13. Howard Eyes  "Estudio de las Geometrías" UTEHA Méjico, 1969

 






sábado, 25 de noviembre de 2017

FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS, ENSUEÑO JUVENIL

1 Autores excepcionales que cambiaron mi vida: Alexander Niklitschek y Etienne Bonnot de Condillac

Una insólita manera de enterarse de qué va "eso de la matemática"

A los catorce años hube de abandonar la escuela (en la que empezaba el prier curso de bachilerato) y el conservatorio (donde estudiaba cuarto curso de piano) Mi hermana Esmeralda acababa de nacer y mi madre estaba gravemente enferma. Mi salario iba íntegro a la farmacia para poder hacer frente a esos nuevos gastos que habían surgido. Los tres años siguientes, es decir hasta los diecisiete,mi único alimento espiritual fueron los libros que buscaba con avidez y encontraba, bien en la biblioteca paterna bien en el mercado dominical del Mercado de San Antonio de mi ciudad, Barcelona. Tuve la gran suerte de encontrar dos libros excepcionales, el primero de ellos un extraordinario tratado de: divulgación de las matemáticas: "El Prodigioso Jardín de las Matemáticas" de Alexander Niklitschek, editado por Gustavo Gili en 1943.
Que un libro de divulgación que parte casi de cero, explique no solo los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral, con ejemplos luminosos y fáciles de entender para un adolescente, sino los temas de matemática avanzada, como las geometrías no euclideas, las propiedades topológicas del toro y la cinta de Moëbius, la pseudoesfera, las figuras del espacio tetradimensional R4  y la artimética transfinita de Cantor, es un milagro que no he visto repetido nunca mas. Ese libro me abrió la mente a temas que no podía ni sospechar que existían, para los que me habían preparado mis incursiones de niño en la biblioteca de mi padre, con lecturas como Platón, Voltaire,  Balmes, Pompeyo Gener y un largo etcétera desde mis once años. Niklitschek abrió mi mente a un nuevo, insólito y deseado territorio pero, sobre todo, inundó, con cosas infinitamente bellas, mi alma juvenil
No puedo dejar de reproducir aquí el capítulo que títula "La Lucha contra el infrinito", tan luminosa y extraordinariamente escrito, (y traducido) elegido por ser, ademàs del más corto de todos los del libro, uno de los más interesantes:

LA LUCHA CONTRA EL INFINITO

    Acabamos de ver en el desarrollo del curioso ejemplo del círculo, todo el poder de una definición. Valiéndonos, pues, de una  "definición" vamos a atrevernos con el monstruo infinito. La dificultad de expresar este concepto con palabras está en el hecho de que podamos "romper fuego" con varias definiciones a la vez. Los filósofos dicen, por ejemplo: "Infinito es aquello de lo que no es posible imaginar el fin, aquello a lo que no se conocen límites". Los matemáticos se expresan diciendo: "Un número o una cantidfad son inifitos cuando son mayores que toda cantidad dada, por grande que ésta sea" Podríamos aducir todavía multitud de definiciones, más o menos ingeniosas y acertadas; pues como el ingenioso Mefistófeles dijo "Dónde faltan los conceptos, acuden oportunamente las palabras" Pero sepamos lo que hemos conseguido con la definición: veamos cómo ha de ser un número al que podamos llamar "infinitamente grande"

    La consecuencia inmediata deducida del sentido puramente matemático de la afirmación de existencia de una cantidad infinita, será la de que las cuatro operacines de cálculo elelmental  - adición, substracción, multiplicación y división - escapan a dicha cantidad del mismo modo que una piña escaparía a un cascanueces vulgar con el cual se intentase romperla. Lo infinito no aument al sumarle una cantidd, por grande que sea, ni disminuye, aunque se le substraiga un número infinito monstruoso que sume una cantidad gigantesca de quintillones. Tasmpoco la multiplicaciuón puede hacer al infinito mayor de lo que es, y sería tmbién, igualmente absurda toda idea de división de la cantidad infinita. Es evidente que tales consideraciones vienen a echar por tierra todas nuestras concepciones y todas la leyes que rigen nuestra manera de pensar. Pondremos un ejemplo que, pese a su entera absurdidad aparente, es absolutamente exacto. Nos referimos a la infinidad del tiempo, a la eternidad. Si a partir del instante actual, es decir del presente, sigo contando toda una eternidad llegaré con los números tan lejos como si hubiese empezado a contar desde el más remoto pasado, desde una eternidad pretérita. Puesto que la mitad de lo infinito es infinita.

    Desde la obscura antigüedad, en que los hindúes encontraron el concepto de infinidad, la idea del ininito ha gravitado sobre el pensamiento humano como una losa. Y, al igual que el rodillo de una apisonadora no deja casi rastro de la cáscara de una nuez que por casualidad encuentra en su camino, cualquier esfuerzo mental en marcha para abarcar lo eterno o lo infinito, destruye todo nuestro bagaje intelectual reduciéndolo a la nada. No es, pues, de extrañar que entre los grandes hombres que homramos como a preclaros maestros de la humanidad haya habido muchos que elevaron su voz poderosa para prevenirnos contra la admisión de lo infinito, Aristóteles nos enseñó ya que es imposible la admisión de un infinito absoluto. Descartes rehusaba ocuparse del infinito y C. F. Gauss, príncipe de las matemáticas, se oponía al uso de toda cantidad infinita en el sentido definidor, como algo que en matemáticas no debiera permitirse jamás; pero, no obstante, la humanidad hubo de encararse con un infinito desconcertante, monstruoso e irrepresentable.

    Mejor dicho, se logró atrapar al inmenso coloso, a ese infinito en apariencia inaccesible, mediante un cascanueces gigantesco capaz de romper la inmensa nuez entre sus potentes mandíbulas de acero. En el último tercio del pasado siglo, hizo su aparición la llamada teoría de los conjuuntos que señaló nuevos rumbos a los matemáticos, en orden al estudio del infinito. Después de tántos milenios de polémica, cúpole a aquel siglo la suerte de establecer afirmaciones prácticamente irrefutables. Como en tantas otras concepciones geniales, la primera idea, la idea más fundamental, parte de un hecho sumamente sencillo.; y es por tal motivo que este arma, la mas importante para la exploración del infinito puede, no sin razón, ser considerada como un retroceso a los principios anteriores del cálculo, tales como el procedimiento de contar con los dedos, tan practicado aún entre los niños y en el seno de los pueblos salvajes. El primer término precisó montar un puente imaginario que condujera al reino tenebroso de lo infinito, es decir, que fue menester hallar una operación de cálculo que sirviese de ariete para atacar al monstruo que lleva ese nombre pues, como sabemos, el infinito no se altera, ni aumenta ni disminuye mediante la adición y substracción de números finitos, por grandes que éstos sean. El infinito multiplicado por cualquier número finito e incluso por el infinito mismo nos da, ineludiblemente, el propio infinito, del mismo modo que al dividirlo por cualquier número monstruoso, astgronómico, el cociente es, invariablemente,m el inmutable infinito.  Y ocurre exactamente igual al aplicarle la elevación a potencias, extracción de raices, cálculos logarítmicos, diferenciaciones, etc. operaciones con las que solo se logra poner de manifiesto su propia impotencia cada vez que tratan de habérselas con él.

    Después de todo lo dicho, cuando descubramos la ingenua operación que va a permitir luchar con el infinito, nos parecerá cosa de broma. Consiste sencillamente en la operación de coordenar. Supongamos, por ejemplo, que en un lugar cualquiera de una selva africana está sentado un honrado hotentote, perito en el arte de dar caza al fiero leon y al terrible rinoceronte. pero completamente en blanco por lo que se refiere al cálculol mental, ya que nuyestro negro "gentleman" no sabe ni siquiera contar.Pero ha consegui9do juntar un montçon de cocos y un pequeño jmontoncito de dátiles y quisiera saber en cuál de los montones hay más piezas. Y es entoncesque viene en su auxilio la "coordinación". Sobre cada coco coloca un dátil, y al terminar ve, de modo inconfundible, si tiene más datiles, más cocos o igual número de unos que de otros.

    He aquí otro ejemplo un poco más preciso. Para esta noche tenemos a cenar 10 convidados, y contándonos usted y yo, los dos anfitriones, seremos un total de 12 personas. En este caso será nuestra ama de llaves la que habrá de "coordenar". Cada persona requiere una silla, un plato sopero y otro llanm, un tenedor, un vaso, etc.. Y ahora toda la matemática que el caso requiere, consiste en lograr que el número de sillas, tenedores cuchilos, vasosm, etc. esté, como dice la expresión matemática

"uniformemente coordenado"
al número de las personas invitadas a cenar. Todos estos "conujuntos" de cuchillos, sillas, vasos, etc, han de ser de:
"igual número"
puestro que para 12 personas se necesitan: 12 sillas, 12 cuchillos, 12 tenedores, 12 vasos, etc. 
    Con esto tenemos la siguiente definición: Se dirá que dos cantidades tienen igual número siempre que entre sus elementos sea posible establecer un coordenación unívoca. La característica que toda cantidad ofrece de común con tods las demás cantidades de igual número, y por la que se distingue de cualquiera otra cantidad que no sea de igual númerom se denomina "número" de esta cantidad. Es claro que todo esto son "preogrulladas pero es preciso tenerlas bien presente puesto que auí surge la "idea rectora", la conclusión transcendental de nuestra coordinatoria. No habiéndonos dicho en parte alguno, ni pudiendo afirmar nadie, que la coordinación sea exclusivamente aplicable a lo finito, es deducible que debe ser también aplicable a cantidades infinitamente grandes. Y cpm ello tenemos en la mano el instrumento ideal que va a permitirnos adueñarnos de ese inabordable monstruo de lo infinito ¡Ya está tendido el puente! Mas antes de hacer uso de este instrumento que acabamos de forjar, será necesario que dejemos sentados dos puntos básicos relativos a la nomenclatura.
Fig 1 Conjunto unívocamente coordenado entre si.





En rigor, hablar de un número infinitamente grande carece de sentido; pues la propia naturaleza de infinito lleva ya consigo el ser mayor que cualquier otro número, por grande que éste sea. Será más justo, pues, hablar de "cantidades infinitas" En segundo lugar. las denominaciones de "grande" o "mayor" resultan realmente gastadas cuando se refieren al ininito, puesto que éste ha sido aceptado ya desde un principio como infinitamente grande. digamos simplemente "extenso",  en lugar de mayor digamos "más extenso" y en lugar de menor "menos extenso". Ésto, bien entendido, cuando nos referimos a cantidades infinitamente grandes.

    Ahora sabemos ya  lo  suficiente, y podemos lanzarnos a probar la mñagica vitud de nuestro cascanueces, La primera cuestión que se nos plantea corresponde tal vez a la pregunta siguiente: ¿Pero es que hay acaso cantidades infinitas? Seguramente no necesitaremos buscar demasiado pues hay, como es notorio, infinitos números naturales distintos (se consideran números naturales los números enteros positivos, como 1, 2, 3, 4, 5 ...) Así pues, , la cantidad, o mejor dicho , el conjunto de todos estos números naturaes nos ofrece un número infinito de elementos y constituye, poor tanto, una cantidad infinita. Los conjuntos que tengan "igual número" que este conjunto de los números naturales , y cuyos elementos puedan ser unívocamente coordenados con los referidos números reciben el nombre de "conjuntos infinitos numerables".

    Al decir que un conjunto tiene por número el die, por ejemplo, se quiere significar que sus elementos pueden ser coordenados con los diez primeros elementos (e número de dedos de la mano es, por lo tanto, un conjunto de esta clase y que, en consecuencia, podrá ser numerado por los primeros diez números naturales; por esto se dice que es nuymerable. Lo mismo podrìa decirse de la cantidad 11, 580 ó de la 22.545, etc. El carácter definitivo es y será siempre el de numerabilidad, o si se prefiere, la "posibilidad de numeración" . Ahora haremos lo dicho hasta aquí extensivo a los conjuntos infinitos. Según lo expuesto, un conjunto infinito numerable será aquel cuyos elementos puedan ser coordenados univocamente, con la totalidad de los números naturales, es decir, aquél cuyos elementos puedan ser "numerados" con el conjunto de los números naturales. Mas, según nuestra definición, todos los conjuntos infinitos numerables han de ser de nùmero igua, (constarán del mismo "número de piezas" , como diríamos vulgarmente). Este número ha de llevar un nombre , del mismo modo que el número coordenable con los dedos de nuestra mano izquierda lleva el número de "cinco" desde tiempo inmemorial.
El conjunto que corresponde a la totalidad de los números naturales recibe el nombre de "alfa cero". Pero, estimando que para designarlo cuadra mejor la a del alfabéto gótico, adoptaremos éste y lo usaremos aqí en lugar de aquella letra griega. De modo que, en lo sucesivo, en vez de "alfa cero" escribiremos
a

Esta  a es, por consiguiente la primera expresión de la extensión de un conjunto infinito (o también, como se dice en el lenguaje científico, de un "número cardinal transfinito" que mas adelante estudiaremos.

    Repetiremos que al decir: "un conjunto tiene el número cinco" se da a entender que os elementos de esa cantidad pueden ser coordenados unívocamente con los dedos de la mano derecha (o de la mano izquierda) , o con los guarismos 1, 2, 3, 4, 5. Por lo tanto, al decir que un conjunto tiene el número a se entiende que los elementos de dicho conjunhto pueden ser unívocamente coordenados con todos los números naturales , o que pueden ser "numerados con éstos".

    Consideremos ahora otros ejemplos de conjuntos infinitos numerablesy veremis enseguida como damos con hecho sumamente sorprendentes, que se hallan en c ontraposición con nuestros conceptos generalmente admitidos. Es innegable que el conjuunto de números pares es infinito numerable . Pero de ahí se deduce, sn ninguna duda posible, que de n´`umeros pares hay la misma cantidad que de números naturales en general , aunque uno se siente inclinado a aceptar que ha de haber menos números pares que números enteros en general. Resulta, pues,para sorpresa nuestra, que  ¡no es cierto que haya más números naturales que n úmeros pares! Lo mismo exactamente podríaamos decir respecto de ls números impares, cuyo conjunhto es también infinito numerable.

 ¡Existen, pues, tantos números pares, como imares y como números naturales en general! Hay algo más sorprendente todavía, pues el conjunto de parejas de números naturales es también un infinito numerable y su cantidad ha de ser, por lotanto igual a a. No resulta, en esencia, mucho más intrincada la demostración de que el conjuunto de todos los números , incluyendo los quebrados comunes, es un infinito numerable y es, por esta razón, de número igual al del conjunto de todos los números naturales, Ya en el último terceio del siglo XIX se pudo demostrar que el conjunto de todos los números posibles, con excepción de los transcendentes ,véanse páginas 50 y siguientes es también infinito numerable e igual, por consiguiente a a

Nos hallamos pues, en resumen con la sigiente serie de hechos portentosos: los números de:
todos los números naturales
todos los números pares
todos los números impares
todos los números naturales y quebrados comunes

son = "alfa cero" = a

    A la vista de tales resultados, a todas luces desvariados, el lector dudará tal vez de nuestro sano juicio. Se imaginará seguramente que en el intento de enfrentarnos con el misterioso y obsesionador infinito hemos sido vçictimas de una completa confusión mental. Pero no hay que perder la calma porque la cosa no va tan malparada.
    Si de buenas aprimeras hemos emprendido una marcha en busca de lo ignoo y aun de lo no imaginable no debe sorprendernos el oir cosas inesperadas e inauditas, pues si, por ejemplo, es claro como la luz del sol que el reciente descubrimiento de un animal desconocido hasta el presente no ha de dar pie a otra pretensión que la de clasificarle en una nueva especie, si es que realmente ofrece características esencialmente distintas de todos los animales conocidos. es claro también que las cantidades infinitamente grandes han de distinguirse de manera fundamentalísima de las cantidades finitas y que, como es de esperar, ocurra que en el inmenso terreno de lo infinito rijan leyes muy distintas de las que tienen validez en los dominios limitados de lo finito. A parte de eso, las rarezas que hemos hallado aquí en orden al primer conjunto infinito a, en ningún modo contradicen las propiedades que, desde un principio, habíamos descubierto ya en orden a las magnitudes infinitas. Pero hay más,  y es que la posible suposición de que todos los conjuntos infinitamente grandes  son iguales entre si o son iguales a a carece de todo fundamento. Vamos a verlo inmediatamente. 
   En el año de 1874 se halló la prueba de que hay conjuntos infinitos que no son numerables. Ha de haber pues, muchos (en realidad, infinitos) conjuntos infinitos. Pudo demostrarse, ante todo, que el conjunto total de los números llamados reales (que son todos los números o sea los relacionados con i) no es infinito numerable. La demostración de este asero es sencillísima e ilustrativa. Basta, en efecto, demostrar que el conjunto de los números reales que caben entre cero y uno, no es infinito numerable, es decir, que es tan numeroso que siempre nos permitirá intercalar otro número por muy tupida que me imagine su colocación previa. Para ello partimos del hecho de que las divisiones ms finas de la alineación numérica (que conocemos ya por la escala del termómetro) representan aquellas fracciones decimales no periódicas extensibles hasta el infinito (Recordar que todas las fracciones decimales periódicas, extensibles hasta el inifinito son, como ya sabemos quebrados comunes, es decir, que pueden convertirse directamente en tales)..Si logro, según eso, demostrar (y resumiré aquí las premnisas de la demostración) que en un conjunto dado de fracciones decimales indefinidas, no periódicas podré siempre interpolar una más, deduciré de tal demostración que es imposible echar ninguna cuenta, ni aún teóricamente, por el hecho de que, en todo momento, podrí añadir aún algo, en cierto modo "olvidado" Expresándolo de otra forma, diré; Si ya he terminado de contar definitivamente éste centenar, pues me será ya imposible intercalar - si no quiero salirme de los números enteros - otro número en ninguna parte. Al 38 le sigue el 39 al 82 el 83 etc. Pero la cosa varía considerablemente cuando se trata de fracciones decimales indefinidas, no periódicas. Por muchas que pongamos (situadas, por ejemplo entre 0 y 1) siempre encontraré algún nuevo decimal de este tipo para añadir. Es claro que la demostración será factible unicamente dentro de lo finito ya que no es posible escribir fracciones decimales de extensión indefinida. Pero, con todo y esa limitción, la cosa es tangible. Supongámonos antes as siguientes fracciones decimales indefinidas, no periódicas:

0,1.755.483.679.002.315 ...
0,2.039.346.588.082.413 ...
0,3.135.428.660.437.275 ...
0,4.875.635.041.311.482 ...
0,5.433.880.294.013.652 ...
0,  ... ... ... ... ... ... ... .. ... etc
 Siguiendo un método sistemático se puede indicar al momento un número cualquiera que no sea igual a cualquiera de éstos, incluso en el caso de que las fracciones decimales apuntadas se extendiesen hasta el infinito. He aquí a tal efecto la "receta": Elíjase el primer decdimal del primer número, diferente del primer decimal de la primera fracción; a continuación se pasa al segundo decimal del nuevo número, diferente del segundo decimal de la segunda fracción, seguidamente se va al tercer decimal del nuevo número escribiéndolo diferente del tercer decimal de la tercera fracción y así sucesivamente. Ahora se puede comprender claramente que de este modo habría de hallarse un nujevo número real, comprendido entre 0 y 1, distinto de cada uno de los arriba anotados. Si enb nuestro caso hubiésemos adoptado, por ejemplo, el criterio de aumentar en una unidad la cifra decimal que corresponde sucesivamente a cada una de las fracciones dadas obtendriamos un nujevo número que empezaría 0,21469 ... (y es claro que  aun hay otras posibles soluciones) ¡Con lo cual queda demostrado que el conjunto de los números reales no puede ser de igual número que el conjunto de los números naturales. Esta nueva especie de infinidad se denomina (valga la expresión) densidad de la continuidad y viene designada con la letra c.  De esas consideraciones se desprende un resultado de una gran sorpresa. En efecto, como hemos aventurado eanteriormente, el conjunto formado por los números enteros, los quebrados comunes y todas las fracciones decimles periódicas de infinitas cifras es un infinito numerable; pero por otra parte,de lo dicho últimamente se deduce la imposibilidad de que el conjunto de los números reales sea un infinito numerable, y la necesidad de que sea mayor que el conjunto de los enteros, quebrados y fracciones periódicas. Por esto ha de existir otra especie particular de números: los llmados números transcendentes, muy buscado antaño por los matemáticos, de los cuales sabemos que existen en una cantidad infinita.

    Intentaremos aclarar  ahoranuestro nuevo descubrimiento con auxilio de una imagen tangible. La densidad de un conjunto infinito numerable, como es a resulta comparable a una escalera una escalera: en cada uno de los peldaños de la misma, todos de igual altura,está un número entero. En un lugar dado ha de hallarse el peldño 2.144, el siguiente vendrá señalado por el número 2.145, al cual sigue el número 2.146 y así sucesivamente hasta llegar al infinito. Nuestra escalera con sus peldaños netamente distinguibles - podemos suponer sin inconvenientes que tienen 1 cm de separación- condujce a alturas infinitas, a alturas inifnitamente más lejanas que las de los mas distantes astros. Se comprende fácilmente que así sea porque, estando formada por un número infinito de escalones, todos ellos e altura apreciable, la longitud de la escalera ha de resultar infinita. En cambio debe existir otra escalera que representa nuestro infinito no numerable y en ella los escalones estar´`an separados por una altura infinitamente pequeña debido a que la distancia entre un número transcendente y el de igual naturaleza que le sigue es de unja pequeñez infinita. De lo cual se deduce que, si bien el número de escalones que contiene es infinito, esta escalera puede ser tan corta como se desee. Y a esta segunda especie de infinito, que representa la "densidad de la continuidad" con que se sucede la sucesión ininterrumpida de números reales podemos hacerla corresponder, por ejemplo, con los puntos de una recta.

    Nos acechan ahora dos nuevos conceptos que, como mazas vienen a dar de pleno en el parador de nuestro sistema de conceptos matemáticos haciendo saltar todas las imágenes y representaciones que se habían incorporado, en carne y hueso, a nuestra mente. Una raya de lápiz cualquiera aun suponiendo que su longitud no exceda de un par de milímetros (imaginándola como una linea ingávida y sin espesor) contiene tantos puntos como corresponden al infinito conjunto de la continuidad. ¡Tenemos, pues, que toda una infinidad real cabe en el bolsillo de nuestro chaleco.

    Pero aún hay más: Esa infinidad de la continuidad es muyo "mayor" que la de c, que es la expresión mas pequeña de conjuntos infinitamente grandes. Y esto nos conduce a la mas extravagante de las insensateces, a saber: Ni en toda la extensión deuna hoja de papel, ni siquiera en todo el orbe entero, está contenido mayor número de puntos que el de los que pueden alojarse en una raya de lápiz de unos dos milímetros de longitud. Ignoramos cuánto "mayor" o "mas poblado" es el infinito de la continuidad con respecto al c. En torno a esa cuestión se halla planteado el famoso problema de la continuidad, que absorbe los esfuerzos de los mejores matemáticos sin que hayan logrado encontrar, hasta el presente, ninguna pista que permita esperar una posibilidad de solución. Se sospecha, apenas, que la continuidad pueda ser tan densa como indica el concepto numérico que podríamos adquirir por la consideración del resultado de multiplicar a veces por si mismo un número finito igual o mayor que 2. Así, por ejemplo:

2 a = c , o también:  11.000.000.000 a = c

    Si uno medita un poco sobre esta sencilla fórmula, no podrá por menos que echarse a reir ante el lastimoso agotamiento de nuestr capacidad de razonamiento y de imaginación, cansado por la entrada en escena de tres o cuatro letras. Tenemos que hay dos infinitos de diferente magnitud y que el paso de un infinito a otro es por demás singular. Para ello hay que tomar el número 2, o uno mayor que éste,, a condición de que sea finito y multiplicarlo por si mismo tantas veces como elemntos contenga el conjunto infinito mas pequeño que es a. Todo esto, diríase que tiene algo de locura, y esta impresión se acentuará todavía más cuando sepamos que entre el número - sin dueda ilimitado- de infinitos existente hay todavía una tercera especie que ha sido estudiada y que hoy es ya en cierto modo comprendida. Se trata de f o sea, el número de funciones posible o,. mekjor explicado, el número total de posibilidades de que un número dado de magnitudes puedan coexistir en mútua dependencia. Resumiendo lo visto hasta aquí diremos que hoy día son tres las infinidades que han sido objeto de mas concentrado estudio - estableciéndose algunas leyes de cálculo que difieren bastante de aquellas otras que rigen en nuestro mundo finito- y son:

a = conjunto de todos los números naturales
c = conjunto de todos los números reales
f = conjunto de todas las funciones
 
    Para  la mejor comprensión de lo dicho, haremos memoria de lo anteriormente expuesto: hemos hallado "cantidades" de diferente especie ue las conocidas en el mundo finito. Hemos penetrado en otro dominio de las matemáticas que carece ya de toda conexión con lo finito. Se pueden admitir infinitos de la extensión que se quiera 0, por decirlo así, inventar, sin tasa, potencias de lo infinito cvada vez más elevadas. Lo que, pmpero, no nos es posible, al menos con los nñumeros que nos hemos creado en lo finito y para lo infinito, es hacer deslindes, ni siquiera aproximdamente. Todas las cantidades infinitamente grandes son, por decirlo así, tan gigantescas que sus límites quedan borrados en una inundacion de toda clase de números y conceptos numéricos finitos.Son como el océano que no se deja limitar por un surco abiertocon la contera del bastón en la arena de la playa a. Podría esperarse de eso que fuera posible obtener el mayor de los números finitos. Pero esto no es posible; y no lo decimos precisamente a causa de que hayamosllegado a formarnos un concepto de la cantidad a, sino por motivo de la consabida definición de lo infinito, puesto que un número es infinito cuando es mayor que todo número dado por grande que éste sea. ¿Qué debo hacer pues para no incurrir en contradicción con lo que nos ha servido de punto de partida? Es dificil de enunciar aquí todo lo que podido establecerse acerca de los conjuntos infinios; en su contexto, la teoría de los conjuntos está aún, actualmente en pleno período de desarrollo, y únicamente pueden ser admitidas como seguras algunas pocas reglas aisladas para el cálculo de cantidades infinitas. El programa, de antemano traido aquí para nuestro paseo no nos permite seguir avanzando por aquellos extraños dominios limítrofes del saber humano.

    El lector que nos ha seguido fielmente por los intrincados vericuetos preguntará:, ¿Es que hay en realidad algo infinito?

    La interrogación es oportuna en absoluto mas no podemos contestarla sin salirnos de los conocimientos que nos ha sido posible establecer hasta aqui. . Nos daremos por satisfechos afirmando simplemente que- por lo que nos es dado juzgar- no existen realmente sino dos posibilidades de infinito, a saber: La infinidad del espacio y la del tiempo. Pero estos problemas desempeñan un papel decisivo consideranciones de naturaleza muy distinta, y habremos de volver mas adelante sobre este tema. De momento no podemos sino afirmar con satisfacción que gracias a la coordenatoria hotentote hemos librado una batalla victoriosa contra el monstruo de lo infinito ,que en un principio parecía inatacable, y hasta hemos conseguido recoger algún botín. El hecho de que no hayamos podido apoderarnos de todo , era de prever, como es natural, desde un principio. Un famoso astrofísico alemán que se ha dedicado durante muchos años al estudio de este problema del infinito , dijo en una ocasión con ironía; "La idea que podemos hacernos del infinito es tan incompleta como la que un ciego pudiera hacerse acerca de la inmensidad de la amplitud imponente y la grandiosidad del océano por la sola impresión de tener en la mano un trapo mojado" Sea como quiera hemos logrado salir ventajosamente de este ataque. Pero al proseguir nuestros avance vamos a aproximarnos a nuevos monstruos matemáticos geométricos, pasando por enrevesados caminos que, a pesar de los obstáculos en ellos acumulados, nos llevar´n a la contemplación de curiosas maravillas de la vida cotidiana.. También en este nuevo capítulo la entrada en materia será por vía nada sospechosa y de modo aparentemente inofensivo.


ALGUNAS IMÁGENES NOTABLEMENTE DIDÁCTICAS DE CAPÍTULOS ANÁLOGOS

 




 




La representación del cubo en la cuarta dimensión (tesarct) se obtiene de análoga manera a como se
hace para el cubo tridimensional al proyectarlo sobre el plano bidemensional, es decir conservando
la ortogonalidad que aquí proyectamos  sobre el espacio tridimensional X Y Z  en vez  sobre el X Y


EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS SEGÚN CONDILLAC

Poco antes de mi encuentro con la obra que acabo de comentar había encontrado el libro que había de orientarme de la filosofía a las matemáticas: La obra de un abate del siglo XVIII, Etienne Bonnot de Condillac. Gracias a él entendí qué era el lenguaje algebraico y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales partiendo de la lógica,más concretamente del análisis de ese lenguaje específico de las matemáticas. Sigamos lo que dice Codillac en algunos de los pasajes de su lección XVI que reproduce una conversación entre padre e hijo;
    P: El problema es el siguiente: Tengo cierto número de monedas repartidas entre mis dos manos. Si hago pasar una moneda desde la mano derecha a la izquierda tendre tantas en una como en otra mano y si paso una de la izquierda a la derecha, tendré en ésta el doble. Se pregunta: ¿Cuál es el número de monedas que tengo en cada mano
    Ya sabes que no se trata de adivinar este número haciendo suposiciones sino que es menester hallarlo razonando, pasando de lo conocido a lo incógnito por un encadenamiento de juicios. Ahora dime tú, como matemático qué harías.
    H: Sabiendo que hay dos condiciones dadas o, por mejor decir dos datos,desde louego notaré que para encontrar el número que solicito deberé observa las relaciones en que están los datos y veré que esas relaciones son más o menos conocidas según la mayor o menor sencillez con que se expresen.
    P: Pues expresémoslos de este modo, si te parece: El número que contiene la mano derecha cuando se le quita una moneda es igual al que está en a mano izquierda cuando a ésta se le añade uno. Pero este primer dato estaría explicado con demasiadas palabras: Asñi podr`´ia decirse, mas brevemente: El número de la izquierda menos una unidad es el de la derecha mas una unidad.
   H. También se podría expresar más brevemente diciendo : La derecha menos una es igual a la izquierda más una.
   P. Tienes razón ¿Pero qué utilidad se saca de todo esto, dirán algunos? ¿Qué utilidad? El observar cómo, de traducción en traducción se llega a la expresión más simple del primer dato y el ver que cuando mas se abrevía el razonamiento, tanto más se aproximan las ideas, y que cuánto más próximas están es mas fácil abrazarlas bajo todas las relaciones.     Ahora debemos tratar el segundo dato con el msmo estilo del primero, esto es: traducirlo a su mas simple expresión y a ti te toca echar los cimientos, como en el primero.
    H. Está muy bien, en virtud del segundo dato del problema, si se pasa una moneda desde la mano izquierda a la derecha, se tendrá el duplo en ésta, luego el número de mi mano izquierda, disminuido en una unidad es la mitad del de mi mano derecha aumentado en una unidad.
.... .... .... ....
    P: ... ... Y se podrá decir: La derecha menos uno es igual a la izquierda más uno y la derecha más uno es igual a dos izquierdas menos dos.
.... .... .... .... siguiendo con el análisis llegamos a expresar que: 
La derecha es igual a la izquierda más dos. La derecha es igual a dos izquierdas menos tres

 La izquierda más dos es igual a dos izquierdas menos tres
Dos mas tres es igual a dos izquierdas menos una izquierda
Esto es: Cinco es igual a una izquierda, con lo que está resuelto el problema supuesto que se ha descubierto que el número de monedas que tengo en la izquierda es cinco y que en las ecuaciones La derecha es igual a la izquierda más dos y la derecha es igual a dos izquierdas menos tres se encuentra que siete es el número que tengo en mi derecha, y que los dos números 5 y 7 satisfacen las condiciones del problema.
      
Como se vé, la gracia del razonamiento es que llega a resolver el sistema de ecuaciones tan solo mediante razonamiento lógico con lenguaje diario. Eso me posibilitó en su momento entender el lenguaje algebraico. Mi siguiente paso como autodidacta, fue hacerme con los magníficos libros de matemática para el plan de bachillerato entonces vigente, escritos por dos grandes maestros: Rey Pastor y Puig Adam. Hice luego mi bachillerato en academia e Instituto, estudiando por la noche a la salida del trabajo. No fue mérito propio sino la infinita suerte de haberme cruzado con grandes hombre y matemáticos que además eran maestros que sabian enseñar y no solo eso sino enamorarle a uno de su ciencia, para toda la vida. 


Mi infinito agradecimiento a quienes me ayudaron tan generosa y desinteresadamente con la lógica y la matemática  en aquellos lejanos y difíciles años que recuerdo hoy aquí con nostálgia.

Platón,
Alexander Niklitschek
Etienne Bonnot de Condillac
Julio Rey Pastor
Pedro Puig Adam
Juan Casulleras Regás
Jorge Dou Más de Xexás