viernes, 21 de julio de 2017

DETERMINANTES FUNCIONALES, EXTREMOS LIBRES Y CONDICIONADOS.

 

Punto de silla

 En  esta entrada se aborda la teoría y práctica de las dependencias lineal y funcional, con el objeto de abordar los conceptos de determinante funcional Wronskiano, Hessiano y Jacobiano para el estudio de los extremos de funciones libres y condicionados, máximos, mínimos, puntos de ensilladura y quasimáximos y mínimos con las condiciones necesaria y suficiente para su existencia. Para ello, como introducción al tema,  partimos de la fórmula de Taylor para mas de una variable con el objetivo de generalizar dicha fórmula y seguir, punto a punto lo anteriormente expuesto, terminado con una breve colección de problemas resultos.
 

1. FÓRMULA DE TAYLOR, DOS VARIABLES

 

Sea z = f (x ,y ) definida en un entorno (x0 y0 ) Si incrementamos x0 en Dx = h  e  y0  en Dy = k pasamos a  ( x0 + h, y0 + k ). Por tanto, un punto ( x, y ) del entorno  lo podemos expresar por ( x + th,  y + tk ) con 0 ≤ t ≤ 1

 

 

De esta manera f  ( x ,y ) = f ( t ) es función de una sola variable y podemos aplicar la fórmula de Mc Laurin 




Y las sucesivas, responderían al operador simbólico:


Constituye el desarrollo de Taylor para dos variables
Esta fórmula se podría  generalizar para n variables
En el caso de ( x0 ,y0 ) =  ( 0 ,0 ) tendríamos el desarrollo de Mc Laurin

2. DEPENDENCIA LINEAL

Dadas n funciones de una sola variable x se dirá que son linealmente dependientes si existe alguna combinación lineal de las mismas de coeficientes no todos nulos que sea identicamente nula.








  

Este determinante formado por las n funciones y sus derivadas sucesivas hasta el orden n-1 se llama WRONSKIANO.

La condición necesaria y suficiente para que n funciones sean linealmente dependientes es que su Wronskiano sea idénticamente nulo. 

En este caso, para hallar esta dependencia al solucionar el sistema, recuérdese que si el rango fuera n-1 los valores dependerían del valor arbitario que dieramos a uno de los coeficientes de la combinación lineal y si el rango fuera n-2 dependería de dos de ellos, etcétera.

En caso contrario se diría que esas funciones son linealmente independientes.

3. DEPENDENCIA FUNCIONAL

Dadas n funciones de n variables, diremos que son funcionalmente dependientes si esxiste una función de las mismas: G (f1 f2  … fn) que sea idénticamente nula, es decir que sea cero, independientemente del valor que demos a las variables.


Téngase presente, sin embargo, que no incluimos en la definición el caso de que G consista en multiplicar por cero cada función de las dadas




Para que haya soluciones diferentes de la trivial (todo ceros) es preciso que el determkinante del sistema sea idénticamente nulo. Cambiando filas por columnas se obtiene la expresión siguiente a la que damos el nombre de DETERMINANTE JACOBIANO

 

 

 

La condición necesaria y suficiente para que n funciones de n va-riables sea funcionalmente independientes es que su Jacobiano sea idénticamente nulo. El número de funciones menos el rango del Jacobiano nos da el número de relaciones de dependencia.

4. EXTREMOS LIBRES  
Extremo de una funcion de dos variables

Se dice que una función f (x y)  iene un máximo o un mínimo en el punto  (x0  y0) si para todo punto (x y) de un entorno suyo se verifica:




➤Condición Necesaria:

Si mantenemos y0 constante, f (x y) solo depende de x ;  y representa la intersección de la superficie f (x y) con un plano paralelo X0Z . En estas condiciones, para que en este plano hubiera un máximo o un mínimo para x x = x0 , la derivada en este punto debería ser nula.
                    Todo esto significa que f’x (x0 yy0 ) = 0
                    Análogamente razonariamos que  f’y (x0 yy0 ) = 0

➤ Condición Suficiente:

Si escribimos la fórmula de Taylor como sigue:

resulta que , como por la condición necesaria, el primer sumando del desarrollo es nulo, el signo de la diferencia, es decir, lo que nos indicará si hay máximo o mínimo, depende unicamente de:



Ya que si h y k son infinitésimos los otros sumandos contienen infinitésimos de orden superior a los del segundo, pudiendo pues prescindir de ellos para esta cuestión.
Hagamos entonces en (1):

Y como k2 >  0  estudiemos el signo del trinomio  au2 + bu + c


Estas tres posibilidades dependen pues de las raices del trinomio:


Y por tanto del discriminante 
D = b2 - 4 ac



Pero volviendo a la notación original :


Donde la expresión entre paréntesis es precisamente el desarrollo del 
determinante:

Por tanto si es  D = -4 H

                 
resumiendo las posibilidades apuntadas:


       Máximo                                                           Punto de ensilladura                                                       Quasi Mínimo

 

5. EXTREMOS CONDICIONADOS

Se llama extremo condicionado de una función  z = f (x,y) al máximo o mínimo de la misma, cuando las variables están ligadas entre si por una ecuación  g ( x,y ) = 0, llamada de enlace, ligadura o condición. Cuando la resolución sea imposible o 
muy laboriosa utilizaremos los  multiplicadores de Lagrange que pasamos a exponer a continuación:
 fx = fy  por la condición necesaria:
Si multiplicamos la segunda ecuación por λ y le sumamos la primera tendremos:











Que es el mismo que obtendriamos aplicando la condición necesaria a la llamada función de Lagrange 


 

Podemos expresar pues que la condición necesaria de extremos condicionados es:


Resolviendo el sistema obtendriamos el valor de lambda y el de los puntos ( x0, y0 ) en los que puede haber máximo o mínimo. La condición suficiene vendría dada por signo de d2F (solo en xy )

 

Donde habrá que tener en cuenta que dx  y  dy están relacionados por




Se despeja un diferencial y se substituye en d2F con lo que el signo queda claro.



6. PROBLEMAS RESUELTOS

1. Sea dz= P(x y) dx + Q(x y) dy. Sabiendo que entre P y Q existe una dependencia funcional, hallar el Hessiano de la función 2

 


Pero si hay dependencia funcional, entonces es J=0


Que, si son funciones dependientes es condición necesaria y suficiente:


2. Analizar los extremos de la función: z = x3 – 4x2 + 2xy – y2






















 Ojo por error copiadol prmer término del Hessiano como 6x-2 debe decir 6x-8
 
3. Determinar las caOJOntidades x e y de dos bienes de precios 2 y 3  u.m. para que con una renta igual a 100 u.m. la utilidad, dada por la función U=xy sea máxima.






 4. Dadas las funciones:



    Hallar p para que sean funcionalmente independientes y la  relación.




5.Determinar si son linealmente dependientes las funciones:









6. Desarrollar la función:


 

  7.Dadas las funciones:

 

 

8.Dadas las funciones:

 

 

9. Hallar en el punto ( 1, 1, 1 )