Funciones Eulerianas parte 2ª: Resolución de ejercicios

En la entrada dedicada a la teoria de funciones eulerianas,  de fecha 13-6-2011,habíamos detenido nuestro análisis en el punto que relaciona ambos tipos de funciones en la  igualdad que sigue

                               

fórmula (c)

Continuando nuestra argumentación nos quedaba por hacer la siguiente consideración:


Mediante el cambio que sigue:

tenemos que es:

Tomando este resultado será fácil resolver, por ejemplo:

y, con estas las: 

por la fórmula (c)

Forma trigonométrica

Despues de este breve repaso teórico, vemos  aplicaciones sencillas del mismo,  aplicando tan lindo algoritmo euleriano. Recientemente he oido a un historiador de la matemática comparar a Euler con Mozart. Con todo mi respeto al luminoso Mozart, yo creo  que mas bien se parece a Bach, padre de la música,  como un padre de la matemática, fuente, como él,  inagotable de sorpresas a lo largo del tiempo. Una de las más recientes, que ese algoritmo diese en el año 1968 , en manos de Gabriele Veneziano,  en el campo de la física teórica, soporte al primer esbozo de la teoría de cuerdas.

Problema 1

Calcular:     

Resolución: 

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Problema 2

Demostrar que existe un punto intermedio del intervalo [2,7] para la función: f(x) =x+4 ,que cumple el Teorema del valor medio.

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Problema 3

Resolver la integral siguiente:

  

      

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Problema 4

Resolver la integral siguiente:

Haremos el siguiente cambio:

seguido a continuación de otro:

           

del que, finalmente, obtendremos el resultado








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Problema 5

Calcular:

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Problema 6

Calcular:

ya que:

e igualmente:

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Problema 7

Calcular:

Solución:


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Problema 8

Solución:





Luego se cumple que la relación buscada es:  m=n+1
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Problema 9

Resolver

Solución:

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