domingo, 30 de diciembre de 2012

ECUACIONES DIFERENCIALES

UN ENFOQUE BREVE Y PRÁCTICO, ORIENTADO A LA RESOLUCIÓN DE LAS MISMAS, ABORDADO HACE ALGUNOS AÑOS EN MI PÁGINA WEB

Esos apuntes los redacté en 1978, durante el segundo curso de mi carrera universitaria. Posteriormente, los incorporé a mi página web. Siguiendo el ejemplo de mis mejores maestros, no los protegí en modo alguno, para que todo estudiante de la materia pudiese servirse de ellos para afianzar sus conocimientos. Posteriormente pude comprobar con disgusto que, no solo han sido profusamente copiados sin citar su procedencia, sino que incluso, en algún  caso, se ha cobrado por los mismos, razón por la que ahora los he registrado.

Las ecuaciones diferenciales son aquellas en las que, en sus términos, aparecen derivadas y diferenciales.
Se llama orden de una ecuación diferencial al mayor índice de derivación que figura en ella. Por ejemplo:


son ecuaciones diferenciales lineales o de primer grado:
 La primera es de segundo orden
 La segunda, de primero.

Vamos a estudiar los seis tipos siguientes:

1  Variables separadas

Se caracterizan porque se puede agrupar en un miembro las x con el dx y en el otro las y con dy
Podemos considerar como forma canónica la siguiente:

que expresada en la forma:


nos permitirá obtener la solución integrando sumando a sumando y añadiéndole la constante de integración.

2  Homogéneas y reducibles a homogéneas


Consideramos de este tipo aquellas ecuaciones de forma canónica:

en las  que F y G sean funciones homogéneas y del mismo grado. Para integrarlas haremos el cambio:
  
que  permite dividir  la ecuación dada por :

m es el grado de homogeneidad) con lo que quedará transformada en una ecuación de variables separables.
Se pueden reducir a ecuaciones diferenciales homogéneas las de la forma:

hallando la intersección de las rectas:


y haciendo entonces el cambio :


con lo que desaparecen los términos c y c´ y queda una ecuación homogénea 

3  Exactas y Exactas factor integrante:

    Se caracterizan porque teniendo la forma 
 
    cumplen la condición:

    Para  resolverlas, integraremos cualquiera de los dos sumandos, por ejemplo:

    Teniendo presente que al integrar consideraremos la y como constante, pero  al resultado  le añadiremos una constante de integración que, en vez de ser un valor fijo, será una función  de:
 y , C (y) 

    Para hallar esta C(y) derivaremos la expresión obtenida respecto a y, igualándola a: Q(x,y):
    podemos despejar:  

    :e integrándola obtendríamos C(y)+C que llevada a la primera expresión nos dará la solución buscada

    Regla Mnemotécnica

    • Se integra uno cualquiera de los sumandos y se añade constante, función de la constante
    • Se deriva respecto a la constante
    • Se iguala al otro sumando 
    • Se integra la función 
4  Lineales de 1er Orden

    Son lineales de primer orden las ecuaciones diferenciales que tienen la siguiente forma:
 
    con y´ sola , positiva. Es decir y´  e   y aparecen en primer grado y f y g son funciones exclusivamente de x o constantes. Si y´tuviera coeficiente, dividiríamos toda la ecuación por éste, para dejarla en la forma dada como general.
    Su integración se realiza en tres pasos:
    1. Se integra el coeficiente de y

    1. Se calcula la forma exponencial
 
    1. Se calcula la integral


    La solución buscada será:

O sea: 2º miembro en y = 3º + C )

 De Bernouilli


Tienen como forma canónica:

Se reduce a ecuación lineal mediante el cambio:

Regla práctica:
Se despeja y, se deriva respecto a x, teniendo presente que u es función de x, se substituye y queda lineal de primer orden. 
Abordamos ahora las ecuaciones diferenciales lineales de orden "n" con coeficientes constantes

5  Lineales de orden "n" con coeficientes constantes


  • 5.1 Homogéneas 
Consideremos como forma canónica:




Se forma la ecuación característica



donde se cambia y por alfa y se considera el orden de derivación como exponente, se buscan sus raices:

  • 5.1.1 Raices Reales Simples
Por cada raiz real simple, la solución tiene un  término:



La solución general es la suma de los términos correspondientes a cada una de las raíces.
  • 5.1.2 Raices Reales Múltiples
Por cada raíz múltiple de orden n la solución tiene un término:
 multiplicado por un polinomio de grado n-1
Por ejemplo, si r es raiz triple. la solución particular correspondiente es :



  • 5.1.3 Raices Imaginarias Simples
Cada par de raíces imaginarias conjugadas a+bi, da lugar a un término de la forma:
  • 5.1.4 Raices Imaginarias Múltiples
Cada par de raíces imaginarias conjugadas múltiples de orden h, da lugar a un término de la forma :


5.2  No homogeneas

Se caracterizan por que el segundo miembro es una función de x:
La solución general se obtiene por suma de la integral de la ecuación homogénea correspondiente y una solución particular cuya forma depende de fi de x

  • 5.2.1 Fi de x es un polinomio de grado m y la ecuación característica no tiene raiz cero.


La solución particular será de la forma:

cuyos coeficientes se determinarán de manera que satisfagan la ecuación diferencial.
  • 5.2.2 Fi de x es un polinomio de grado m y la ecuación característica  tiene la raiz cero "h" veces
Como integral particular tomaremos:

  • 5.2.3 La función es la siguiente: 
En este caso la solución particular tomará la forma:




  •  


En una entrada posterior se aplica esta teoría básica a la resolución de problemas de cada tipo de las ecuaciones diferenciales tratadas



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