domingo, 31 de mayo de 2009

Una mirada a la Relatividad: Lorentz-Poincaré-Einstein (I)

INTRODUCCIÓN

Una tradición en la enseñanza de la física es la explicación histórica. En ella se encadenan los descubrimientos siguiendo una lógica que no coincide con el verdadero desarrollo de los descubrimientos y las teorías tal como verdaderamente sucedieron. Algo parecido a : El experimento de Michelson Morley demostró la inexistencia del eter; a continuación Lorentz calculó la contracción de un móvil en el sentido del movimiento así como la dilatación del tiempo ambos referidos a un sistema incercial respecto a otro en reposo. Einstein entonces construyó su teoría de la relatividad sobre los supuestos de constancia de la velocidad de la luz independientemente del movimiento o reposo y el principio de relatividad. Esta explicación no obstante no coincide con el verdadero desarrollo de las cosas tal como en realidad sucedieron. El propio Einstein dijo en su momento que en 1905 fecha en la que formuló su teoría de la relatividad especial o restringida no tenía noticia del experimento de Michelson Morley. No obstante Einstein si recibió magisterio de Lorentz cuando estudiaba física en Leyden y Poincaré con su claro y elegante lenguaje mátemático revisando la concepción de Lorentz dijo que nunca podría demostrarse el estado de movimiento o reposo de un cuerpo mediante un experimento de laboratorio como ya Galileo había establecido al asimilar un cuerpo en reposo o en movimiento univofrme y que debía establecerse el principio de relatividad de Galileo con carácter general reformulando la física sobre él en vez de creer como Lorentz que la contracción de la longitud de un cuerpo en el sentido de su velocidad era una propiedad del electrón recién descubierto, fue quien más se aproximó a la solución einsteiniana aun cuando no sacara las consecuencias derivadas. Einstein puso como pilares de su teoría la invariancia de la velocidad de la luz independientemente del estado de reposo o movimiento y el principio de relatividad. Al principio, pues hubo voces que señalaron que tal vez la importancia atribuida a Einstein era excesiva y dado que en el momento de formular su teoría no formaba parte del mundo universitario puesto que era empleado de una oficina de patentes es fácil pensar que, de no haber sido porque tanto Lorentz como Poincaré reconocieron explicitamente su importancia dificilmente se le habría dado crédito. Como tantas otras veces en el desarrollo de las teorías científicas y siguiendo la opinión de Khun (Historia de las Revoluciones Científicas) los tiempos estaban maduros para el nuevo paradigma al que se aproximaban figuras señeras de la física pero finalmente fué Einstein quien le dió forma.

EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY

Los físicos del siglo XIX creían en la existencia del eter como un fluido necesario para que la luz viajara a su través, ya que era completamente extraño al desarrollo científico de la física clásica que una onda que era una perturbación en un medio pudiera existir sin medio alguno. Así como el sonido se propaga en ondas por el aire creian que la luz lo hacía a través de un fluido que llenaba el espacio que de otra forma siendo un medio vacio no podría dar soporte a la transmisión de ondas. El eter permanecía en la física desde Aristóteles y los físicos postulaban sus propiedades observando la enorme velocidad de la luz, de donde deducian que el medio debía ser extraordinariamente denso pero incompresible, es decir no podía ser comprimido. Michelson fue el primer físico norteamericano que recibió el premio Nobel. Fué sobre todo un físico experimental y con unas extraordinarias dotes para la construcción de instrumentos. A lo largo de su vida obtuvo con precisión creciente medidas más ajustadas de la velocidad de la luz y midió el primero el diámetro de una estrella. Estando en Postdam construyo un aparato extraordinariamente preciso al que llamó interferómetro. Este aparato era extraordinariamente sensible para medir la velocidad de la luz pero tenía el inconveniente de que era muy sensible a las vibraciones y se veía afectado por el paso de carruajes e incluso el paso de peatones por lo que realizar mediciones con él se convertía en una tarea muy árdua que solía llevarle el día entero.

Cuando, de nuevo en Norteamérica, en Cleveland (Ohio) conoció a Morley, del que llegó a ser amigo íntimo, ambos perfeccionaron el aparato montándolo sobre piedra arenisca en una piscina de mercurio con lo que lograron estabilizarlo haciéndolo inmune a las vibraciones que hasta entonces lo perturbaban.

El experimento estaba destinado a probar la existencia del eter y consistía en lanzar un rayo de luz sobre la superficie de un espejo dividiendo su camino en dos tramos de igual longitud, uno en la dirección del movimiento de la tierra y el otro perpendicular al mismo. Si existía algo así como un viento de eter, pese a ser los caminos iguales el tiempo invertido no podía ser el mismo. Coherentemente con la relatividad de Galileo que establecía que las leyes de la física eran las mismas para cualquier sistema en movimiento y que las coordenadas de un suceso en el sistema de referencia R con respecto a otro S se obtenian mediante la transformación espacial siguiente:Siendo las coordenadas de un punto en R :x y z si este medio se movía con movimiento uniforme respecto al S con una velocidad en el sentido x de Vx durante un tiempo t la única diferencia de coordenadas se producía precisamente en esta dirección del movimiento y venía dada por la formula del espacio en el movimiento uniforme, es por la que el espacio recorrido es el producto de la velocidad por el tiempo, por lo que

Por ello, el camino recorrido en el sentido del del movimiento de la tierra debía realizarse en un tiempo inferior al recorrido en sentido vertical ya que este último no se veía arrastrado por el movimiento terrestre al mantenerse constantemente perpendicular al mismo. En consecuencia,llegarían primero el rayo vertical y después el horizontal dando en el aparato una mancha obscura, mientras que de haber invertido el mismo tiempo la interferencia daria una marca brillante.

Si quisieramos expresarlo en forma matricial, escribiriamos:

Para sorpresa de Michelson ya desde la primera vez que realizó el experimento el resultado fue que ambos rayos llegaban a la vez y por tanto no había diferencia de velocidad entre ellos. Este resultado se mantuvo con el aparato perfeccionado con el que llevó a cabo de nuevo el experimento junto a Morley.
Veanse a continuación en los dos videos que siguen, de unos pocos segundos de duración, el esquema del experimento desde los puntos de vista estático y dinámico




LA HIPÓTESIS DE FITZGERALD

Fitzgerald era un físico muy reputado por su relación con la teoría electromagética de Maxwell y el extraño resultado del experimento le fue sometido por Michelson Morley para su interpretación. Fitzgerald tuvo una extraña idea que pareció fantástica y dificilmente creible, cual fue postular que el brazo del interferómetro que se movía en la dirección del movimiento de la tierra se contraía por alguna razón desconocida, justo la cantidad necesaria para que el camino le tomase el mismo tiempo.

LA CONTRACCIÓN DE LORENTZ-FITZGERALD

Lorentz era a la sazón el físico más reputado de Europa y cuando se tomó en serio la explicación de Fitzgerald la comunidad científica le prestó crédito. Lorentz formuló la hipótesis de que el acortamiento del objeto que se mueve en la dirección del movimiento postulada por Fitzgerald era una característica del recién descubierto electrón y calculó las fórmulas que recibirían el nombre de transformación de Lorentz destinadas a cambiar el panorama de la física teórica de su tiempo.

Lorentz, de acuerdo con la interpretación del experimento de Michelson Morley dió la forma matemática necesaria a la contracción del brazo del interferómetro en la dirección del movimiento y la dilatación del tiempo, engendrando el conjunto de ecuaciónes conocido por transformación de Lorentz para substituir la de Galileo. El conjunto de transformaciónes refleja la contracción del cuerpo en movimiento en el sentido de la trayectoria la dilatación del tiempo manteniendo las dimensiones perpendiculares y, z invariantes.

DEDUCCIÓN DE LA TRANSFORMACION DE LORENTZ MEDIANTE GEOMETRIA ANALÍTICA ELEMENTAL

Se plantea el "experimento mental" siguiente, según norma del propio Einstein que desde su adolescencia se se preguntaba cómo se vería un rayo de luz si pudiésemos correr a su lado. Lo veríamos parado, puesto que la velocidad relativa entre el rayo y nosotros seria cero. Esta situación le indujo a pensar como se veria un rayo de luz en dos sistemas de referencia, uno fijo (S) de color azul y otro móvil (S’) de color rojo.

Sean dos observadores A y B digamos, Eva y Román. Eva esta situada en el sistema S y dispone de una fuente de luz que emite en todas direcciones por igual. Román se encuentra situado en el sistema S’ que se desplaza con velocidad uniforme respecto al S de Eva y dispone de una fuente de luz igual. Al encender la luz, tanto Eva como Román tienen que observar que la luz se aleja a la velocidad c de ellos y en todas direcciones por igual. Es decir, observan como una esfera de luz avanza hacia el espacio exterior a la misma velocidad c para los dos.


La esfera del sistema S (Eva) y la del sistema S' (Román ) espresadas en función de sus coordenadas y expandiendo su radio ct (velocidad x tiempo) se expesan a continuación de acuerdo a la ecuación de la esfera en geometría analítica
Si, considerando el movimiento relativo de ambos sistemas, aplicaramos la transformación de Galileo obtendriamos para S' una ecuación que no sería ya la de la esfera, en contradicción con el supuesto inicial y lo demostrado por Michelson Morley
Pues bien, impongamos la condición de que estas dos esferas tienen que ser esferas tanto para Eva como para Román.
Aplicamos la transformación de Galileo para comprobar si se cumple este principio de que las esferas tienen que ser iguales
Eva observa una esfera, pero Román no.La transformación de Galileo no conserva la simetría de la esfera. Un rayo de luz lanzado desde el Sistema S se verá distinto en el Sistema S’.Para solventar este inconveniente Einstein considera que el tiempo es una variable que también depende del espacio. Consideramos el movimiento en la dirección del eje x para simplificar. Entonces la condición matemática para la transformación es la siguiente, con gamma, A i B parámetros a determinar
Aplicamos otra vez la condición anterior de que las esferas de luz tienen que ser esferas, tanto para Eva como para Román , obtenemos
Igualamos los coeficientes El sistema se soluciona con algunos pasos algebraicos, se aísla gamma de la última y se sustituye en la primera, con este paso se obtiene B en función de A y se sustituye en la segunda. Obtenemos gamma, A y B
De manera que la transformación de Einstein, que es la transformación de Lorentz, queda finalmente establecida como sigue:
En esta transformación de Lorentz cuando la velocidad v es muy pequeña en relación con la velocidad de la luz, el término v2/c2 tiende a cero. por lo que coincide con la transformación de Galileo que, a su vez, lo hace con nuestra experiencia de la vida diaria. La dificultad de acordar lo establecido por este conjunto de ecuaciones, comprobado y demostrado experimentalmente, con nuestro sentido común tiene como causa la baja velocidad de los móviles que podemos observar habitualmente. Incluso la velocidad de la tierra en su viaje alrededor del sol que es de 108.000 Km / h produce en ella una contracción del tamaño de una brizna de hierba, pero el efecto crece rápidamente de manera exponencial con el aumento de velocidad.

Continuará en la siguiente entrada de blog
BIBLIOGRAFIA
Para la redacción del presente post se han consultado las siguientes obras:

LIBROS
  1. Albert Einstein; Sobre la teoría de la Relatividad Especial y General. Alianza Editorial. Madrid 2008
  2. Albert Einstein: El Significado de la Relatividad. Espasa Calpe. Colección Austral 2008
  3. Martin Gardner: La Explosión de la Relatividad. Salvat Editores 1996
  4. Bertrand Rusell; El ABC de la Relatividad . Ariel 1989
  5. Manuel Gutierrez. Introducción a la Relatividad (Departamento de Álgebra, Geometría y Topología de la Universidad de Málaga) Universidad de Málaga, Mayo 2009
  6. Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología. Semana de la Ciencia 2005: La Huella de Einstein. Madrid 2005
  7. José Ignacio Illana. El Significado de la Relatividad (Apuntes de Clase) Universidad de Granada, 2008
  8. Ernesto Sabato: Uno y el Universo. Editorial Seix Barral, Colección de Bolsillo
  9. J. Ortega y Gasset. Meditación de la Técnica. Espasa Calpe Colección Austral. 1965
  10. J. Ortega y Gasset. El Tema de Nuestro Tiempo
  11. J. Ortega y Gasset La Rebelión de las Masas. Revista de Occidente, colección El Arquero, Madrid
  12. A.P. French. Relatividad Especial (Curso del MIT)
  13. David A. Santos. Multivariable Calculus Notes Philadelphia PA October 22,2003
  14. Alvaro Tejero Cantero, Pablo Reuia Múzquiz. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.00. 13/5/2002
  15. Ing. Ezequiel López. M Conceptos de Relatividad Especial y General 25 de octubre de 2002
    José Mª Goicoechea Ruizgómez. Mecánica de Medios Contínuos. Resumen de Álgebra y Cálculo Tensorial
  16. Galileo Galilei. Sobre los dos sistemas del mundo: Ptolemáico y Copernicano
  17. Golovina,I. Sobre Álgebra Lineal y alguna de sus Aplicaciones. Ed. Mir Moscú 1974
WEBS Y BLOGS
  1. http://www.stanford.edu/dept/physics/people/faculty/susskind_leonard.html NOTA Es posible seguir las maravillosas lecciones del profesor Susskind en el canal de la Universidad de Stanford en YouTube en doce videos de aproximadamente dos horas de duración cada uno e incluso suscribirse a dicho canal
VIDEOS
  1. California Institut of Technology. El Universo Mecánico y Más Allá. Lecciones de fïsica en DVD (Pueden verse en YouTube)
  2. Leonard Susskind en el canal Stanford University (YouTube) sobre Relatividad. Lectures 1 a 12

2 comentarios:

Anónimo dijo...

Quisiera comentarte un poquito, el trabajo tan importante y tan científico, que has publicado en el Blog. Pero…ya sabes, ese no es mi tema, yo ¡pobre de mi! solo alzo los ojos buscando el firmamento, para ver esas estrellitas parpadeantes, mas allá de la Luna, a las que imagino llegará un día el hombre. Es posible que a su encuentro, acudamos todos los SOÑADORES que e en el mundo hemos sido. Los que llegamos antes, en ese mágico viaje para el que solo precisamos unas alitas de fantasía... ¡Menuda sorpresa se llevarán los sabios astronautas!
Pero…en lo referente a Einstein, si he leído algo. Y le tengo mucho cariño a ese sabio judío, que dedicó su vida a demostrar aquello en lo que creía firmemente. ¡Claro que no inventó nada! Solo…le dio forma, lo demostró. Como dijo Poincaré:” No hay que apilar ladrillos, es necesario construir edificios” Muchos, desde Copernico (o antes) intuyeron y estudiaron sobre el tema, cimentaron la teoría, pero…las piezas valiosas del puzzle, las reunió ese HOMBRE al que muchos acusaron de ser un plagiador. Como antes se había hecho con Galileo, cuya demostración de que la tierra giraba alrededor del sol (indiscutiblemente basada en estudios anteriores de otros sabios) también le valieron no solo la censura de la Inquisición, sino lo que debió de ser aun mas doloroso para el, la acusación de plagio.
Creo, querido Román, que “ya todo esté escrito” o que” no hay nada nuevo bajo el sol” pero…sobre ese “fondo” tan cierto…está la particular “forma” que cada uno de los millones de seres humanos vemos con nuestras miradas únicas.
Un beso, AMIGO Y MAESTRO.
Blanca

Román dijo...

Querida Blanca:

Muchas gracias por tu comentario y tus elogios inmerecidos. Comprendo perfectamente tu punto de vista, Blanca. Tú tuviste el privilegio de formarte con una mujer culta muy amante de las letras que, como a mi mi padre, supo contagiarte ese fervor suyo por escritores tan elitistas como Tagore o Proust que, en el páramo cultural en que nos moviamos entonces , a nadie le sonaban, excepto, tal vez al bueno de Tarragó. Reivindicas tu derecho a soñar cosas bellas porque desde niña has tenido el privilegio de tenerlas a mano para saborearlas, además de haber heredado esta capacidad de tus ancestros, desde tu abuelo notario a tu padre con dos carreras universitarias, ambas de letras. Pero, te aseguro, querida Blanca, aunque se que si no logré convencerte de ello hace cuarenta y cinco años, dificlmente lo voy a lograr ahora, te aseguro digo. que los grandes científicos son también soñadores y que la belleza formal de la matemática está mucho más cerca de esa poesía exquisita que ambos amamos, de lo que puedan pensar quienes no han tenido nunca contacto con ella,ni la inmensa suerte de gustar la sensibilidad exquisita de Proust, de Tagore o de Alfonsina Storni. Eintein convirtió la física en algo muy bello con ayuda de la matemática utilizando el cálculo tensorial. Como vió claramente Ortega primó el concepto de espacio sobre el de materia que viene a ser una manera científica de espiritualizar lo existente. Esa parte de mi entrada dedicada al pensamiento de Ortega sobre Einstein, todavía no la he redactado porque no quisiera hacer citas fiando de mi memoria, y los libros se resisten a aparecer en mi biblioteca, pero quedé enamorado de esos conceptos a los diecinueve años y me han acompañado hasta hoy. Tú que me conoces, sabes que soy fiel a mis afectos y que no exagero ni trato de hablar tan solo por la huera vanidad de decir "cosas bonitas" aunque si tuviera la suerte de que lograran serlo, mejor que mejor.
Te emplazo pues, a esa segunda parte, (No tienes excusa, no hay una sola fórmula) en la que Ortega hace como pensador algo que, en otro orden de cosas es muy tuyo, hacías entonces y sigues haciendo aún. Sorprendernos a todos cuantos tenenmos el privilegio de conocerte, con tus juicios sobre las acciones humanas, tan originales que todos reconocemos inmediatamente como las "cosas de Blanca" de igual manera que es imposible no reconocer, oyendo ni sean tan solo cuatro notas, el espíritu inmortal de nuestro amado Bach o el álito sutilmente delicado de Chopin.

Román